近世代数题证明Q（根号2 ）={a+b根号2| a,b是有理数}是域
显然加法、减法和乘法封闭，只需证明除法封闭即可 (a+b根号2）/(c+d根号2）=(a+b根号2）（c-d根号2）/（c+d根号2）（c-d根号2） =[ac-2bd+(bc-ad)根号2]/（c^2-2d^2)属于Q（根号2） 由于c,d为有理数且不全为零，所以一定有c^2-2d^2≠0，否则c/d=正负根号2，矛盾。
Q(根号2）是一个加法群，1是零元，a+b根号2的负元是-a-b根号2.
Q（根号2）是一个乘法群，单位元为1，任一非零元a+b根号2的逆是(a-b根号)/(a^2-2b^2)
因为Q(根号2）是实数环R的子环，R乘法对加法有分配率，所以Q（根号2）的乘法对加法也有分配率。
近世代数试题 模6的所有子群
模15的剩余类加群g的阶是15
所以其子群的阶只能是1,3,5,15
1阶和15阶子群是平凡子群, 即 {[0]} 和 g 本身.
因为3,5是素数, 所以g的3阶和5阶子群必是循环群
g中3阶元有: [5],[10], 它们生成的子群即 { [0],[5],[10] }
g中5阶元有: [3],[6],[9],[12], 它们生成的子群是 { [0],[3],[6],[9],[12] }
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近世代数中，如何证明两个理想的并仍是理想的充分必要条件为一个理想
只须证明必要性。因为理想是子环，对环的加法运算来说，两个子群之并仍为子群的充分必要条件是一个子群包含另一个子群。