考研，数学，求高阶导数的各种方法！！

一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式；
其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可
再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况；
最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。
上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。
1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次；
2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后，
根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确；
3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，
很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。
实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。
步骤：
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.
第二步：求f(x)的导数f′(x).
第三步：求方程f′(x)＝0的根.
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.
第六步：明确规范地表述结论.
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。
那个C是组合符号，
C(i,n)=n!/(i!(n-i)!)
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。
一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。
就本题：
y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+......
如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项，
所以：y的100阶导数=xshx+100chx
1.把常用初等函数的导数公式记清楚；
2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。
===========================姜永哲11、、请勿转载=====
这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y=0 【y=0 y=0：导数为本身的函数之一】
2.幂函数y=x^n,y=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】
基本导数公式
3．指数函数y=a^x,y=a^x * lna 【y=e^x y=e^x：导数为本身的函数之二】
4．对数函数y=logaX,y=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y=1/x】
5.三角函数
(1)正弦函数y=(sinx ）y=cosx
(2)余弦函数y=（cosx） y=-sinx
(3)正切函数y=(tanx） y=1/(cosx)^2
(4)余切函数y=（cotx） y=-1/(sinx)^2
6.反三角函数
(1)反正弦函数y=（arcsinx） y=1/√1-x^2
(2)反余弦函数y=（arccosx） y=-1/√1-x^2
(3)反正切函数y=（arctanx） y=1/(1+x^2)
(4)反余切函数y=（arccotx） y=-1/(1+x^2)
幂函数同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率
上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。
x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.
建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。
==============================姜永哲11-------
最后讲一下你那个题：
====很简单，把原式看做(ax+b)和1/(cx+d)相乘的n阶导数，然后用莱布尼茨公式展开就行了。注意(ax+b)二阶以上的导数全部是0，而1/(cx+d)的n阶导数很好求。
结果应该是：(ax+b)×[(-c)^n×n!/(cx+d)^(n+1)]+n×a×[(-c)^(n-1)×(n-1)!/(cx+d)^n]
刚才失误了。。。忘了阶乘。。。
答案是正确的，你把我的解答同分一下化简就会发现跟答案一样。你自己做的应该是不对的。可以取n=2,3的特殊情况看一下。

隐函数求导详细例题

设方程P(x，y)=0确定y是x的函数，并且可导，可以利用复合函数求导公式求出隐函数y对x的导数。
例：方程 x2+y2-r2=0确定了一个以x为自变量，以y为因变量的数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y2看作x的复合函数，则有：
(x2)+(y2)-(r2)=0，即2x+2yy=0，于是得y=-x/y 。
从上例可以看到，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y的一次方程， 解出y即为隐函数的导数。



扩展资料
1、例：求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数。
解： 将方程两边同时对x求导，得：2yy=2p
解出y即得y=p/y
2、例：求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数。
解：将方程两边同时对x求导，得y’=ln y+xy /y，解出y即得 。
隐函数导数的求解可以采用以下方法：
先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

分数求导公式

公式：(U/V)=(UV-UV)/(V^2)
分数求导，结果为0
分式求导：
结果的分子=原式的分子求导乘以原式的分母-原式的分母求导乘以原式的分子
结果的分母=原式的分母的平方。
即：对于U/V，有(U/V)=(UV-UV)/(V^2)

扩展资料：

基本求导公式
给出自变量增量 
 ；得出函数增量 
 ；作商 
 ；求极限 
 。
求导四则运算法则与性质
1. 若函数 
 都可导，则



2.加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法：

3.数乘性：作为乘法法则的特例若为 
 常数c，则 
 ，这说明常数可任意进出导数符号。
4.线性性：求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况：
反函数求导法则若函数 
 严格单调且可导，则其反函数 
 的导数存在且 
 。
复合函数求导法则若 
 在点x可导 
 在相应的点u也可导，则其复合函数 

在点x可导且 
 。
导数公式：
1.C=0(C为常数)；
2.(Xn)=nX(n-1) (n∈R)；
3.(sinX)=cosX；
4.(cosX)=-sinX；
5.(aX)=aXIna （ln为自然对数)；
6.(logaX)=（1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)；
7.(tanX)=1/(cosX)2=(secX)2
8.(cotX)=-1/(sinX)2=-(cscX)2
9.(secX)=tanX secX；
10.(cscX)=-cotX cscX；

如何判断一个微分方程是线性，非线性？

所谓的线性微分方程 linear differential differentiation，其中
A、只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；
B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；
C、函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；
D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算，例如：
siny、cosy、tany、根号y、lny、lgx、y²、y³、y^x、x^y。
若不能复合上面的条件，就是非线性方程 nonlinear differential differentiation.
例如:
y=sin(x)y是线性的
但y=y^2不是线性的
注意两点:
(1)y前的系数不能含y,但可以含x,如:
y*y=2 不是线性的
x*y=2 是线性的
(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:
y=sin(x)y 是线性的
y=sin(y)y 是非线性的

变上限积分如果被积函数中含有绝对值如何求导…不去绝对值按原来的求导行吗

变上限积分的求导不必动到被积函数，和它是否含有绝对值无关。
具体的说，变上限积分 F(x) = ∫[a,x]f(t)dt 可导的充分条件是 f(t) 连续，与 f(t) 是否含有绝对值无关。