高等代数考研题

感觉题目有点问题，最后应该是证明：V可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和，否则A作为一个变换怎么分解为直和？

我得想法：
V是4维空间，则A的特征多项式为4次，又没有实特征值，从而特征多项式一定是两个实数域不可约二次多项式的乘积。
A在4维复空间内一定存在复特征值，且其虚部不为0，共轭成对，令为a1 ib1,a1-ib1,a2 ib2,a2-ib2，b1和b2都不为0，易知共轭的特征值对应的特征向量也共轭，从而，一对共轭特征值对应于两个4维实数列向量u,v，且
A(u iv)=(a1 ib1)(u iv)，则

Au=a1u-b1v,
Av=a1v b1u，(1)
u，v线性无关，否则令u=hv,则带入(1)，可得到(h*h 1)*b1=0，这是不可能的，所以u,v线性无关
由（1）得u,v的生成子空间即为V在A下的一个不变子空间，同理可得另一个不变子空间。因为不同特征值的特征向量线性无关，从而这两个不变子空间的直和为V

这两个子空间的正交性还不知道怎么证明...

高等代数 题目

设1 x x^2 … x^(n-1)的根为z(1)，z(2)，…，z(n-1)，它们是n次单位根。根据题设，1 x x^2 … x^(n-1)能整除前面那个多项式，因此把前面那个多项式里的x依次换成z(1)，z(1)，z(2)，…，z(n-1)后，并利用[z(i)]^n=1，i=1，2，…，n-1就得到一个齐次方程组，这方程组的未知数是fi(1)，i=1，2，…，n-1，而系数矩阵的行列式是Vandermonde行列式，因此不为0，所以该齐次方程组只有0解，换句话说就是你要证的结论。

高等代数题目

1. σ²=σ
则所有本征值满足x^2=x
解得x=1或0

2. 本征值是1
3. 向量空间的秩，就是求出极大无关组，数一下其中向量个数即可

4. 用正交变换化标准型步骤：先求出特征值，特征向量，然后将这些特征向量拼成的矩阵，施密特正交化，即可