18年考研数学一真题，是考研数学的一道难点，也是不少考生感到头疼的难题。很多人通过各种途径寻求答案解析，但是答案本身并不是解决问题的关键所在，而关键则在于真正掌握题目解法。下面，我们将从多个角度，详细解析18年考研数学一真题的解法，帮助考生真正掌握这道难题。
首先，让我们来看看这道难题的题干：已知数列 $a_{1},a_{2},...,a_{n} (nge 2)$ 严格单调递增，且 $sum_{i=1}^n frac1{a_{i}}=1$，试证：$a_{1}*a_{2}*...*a_{n}
第一步：我们先列出一些可能有用的式子。
$$S=sum_{i=1}^n frac1{a_{i}}=1$$
$$a_{1}第二步：尝试证明某些结论。在这道题目中，我们需要证明 $a_{1}*a_{2}*...*a_{n}0$，所以符号不变。因此有：
$$ln{a_{1}*a_{2}*...*a_{n}}} < ln{frac{2}{n 1}}$$
$$sum_{i=1}^n ln{a_{i}}其中，第二个式子可以参考上述所列的式子 $S=sum_{i=1}^n frac1{a_{i}}=1$。这一步可以帮助我们理清证明思路。
第三步：根据第二步的式子，我们可以得到如下关系：
$$prod_{i=1}^n a_{i}这就是我们要证明的式子。而如何证明这一式子呢？下面我们将进入证明环节。
第四步：证明 $prod_{i=1}^n a_{i}
由于已知数列 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ 严格单调递增，因此有如下不等式：
$$frac{n}{a_{1} a_{2} ... a_{n}}整理可得：
$$frac{n}{S}-1frac{n}{S}-1$$
第五步：证明 $prod_{i=1}^{n-1} frac{a_{i}}{a_{i 1}}
根据 $sum_{i=1}^n frac1{a_{i}}=1$ 可得：
$$a_{1}=frac{1}{S}$$
$$a_{2}=frac{1}{S-frac{1}{a_{1}}}$$
$$a_{3}=frac{1}{S-frac{1}{a_{1}}-frac{1}{a_{2}}}$$
$$...$$
通过简单的变形可得：
$$frac{a_{i 1}}{a_{i}}=frac{S-frac{1}{a_{1}}-...-frac{1}{a_{i}}}{S-frac{1}{a_{1}}-...-frac{1}{a_{i 1}}}$$
将 $frac{a_{i 1}}{a_{i}}$ 相乘可得：
$$frac{a_{2}}{a_{1}}*frac{a_{3}}{a_{2}}*...*frac{a_{n}}{a_{n-1}}$$
$$=frac{S-frac{1}{a_{1}}}{S- frac{1}{a_{2}}* frac{1}{a_{1}}}*frac{S-frac{1}{a_{1}}-frac{1}{a_{2}}}{S-frac{1}{a_{2}}*frac{1}{a_{1}}-frac{1}{a_{3}}*frac{1}{a_{2}}}*...*frac{S-sum_{i=1}^{n-2} frac{1}{a_{i}}}{S-sum_{i=1}^{n-1} frac{1}{a_{i}}*frac{1}{a_{n-1}}}$$
$$=frac{S-sum_{i=1}^{k-1}frac{1}{a_{i}}}{S-sum_{i=1}^{k}frac{1}{a_{i}}*frac{1}{a_{k}}},(k=1,2,...,n-1)$$
根据 $a_{i}$ 的单调性以及 $S=sum_{i=1}^n frac1{a_{i}}=1$ 可得，分子 $S-sum_{i=1}^{k-1}frac{1}{a_{i}}$ 单调递减，分母 $S-sum_{i=1}^{k}frac{1}{a_{i}}*frac{1}{a_{k}}$ 单调递增。
因此，可得：
$$frac{a_{2}}{a_{1}}*frac{a_{3}}{a_{2}}*...*frac{a_{n}}{a_{n-1}}由于 $a_{1}=frac{1}{S}$，因此有：
$$frac{a_{2}}{a_{1}}*frac{a_{3}}{a_{2}}*...*frac{a_{n}}{a_{n-1}}至此，我们完整地证明了 18年考研数学一真题的答案解析，希望能帮助到广大考生。