一道关于纳什均衡，公共资源问题求答案～！跪谢！！！

公共地悲剧是博弈论一个经典的案例，但是它的数学模型对外行来说还是相当复杂的。
设一个村庄有n个农民共同拥有一片草地,每个农民都有在这片草地上放牧的自由,每个农民要决定自己养多少只羊。若农户决定养羊的数量是同时决定的,即每户在决定时不知道其他户养羊的数量,但每户都知道这片草地能养多少只羊和羊总数不同水平下每只羊的价值,若羊的总量超过一定数量,每只羊无法吃饱,从而每只羊的产出就会减少,羊的价值就会下降。所以羊的价值是其数量的减函数,即有αvΠαG<0,v是羊的价值,G是羊的总数。 设第i户养羊的数量为gi(i=1,2,…n),总数为G=∑n
i=1 gi,养一只羊的成本为常数c。则第i户的利润函数为:πi=πi(g1,g2,…gn)
=giv (∑n i=1gi)-gic,对πi求一阶最优条件得:απiΠαgi=v(∑n
i=1 gi 3 i) +g3iv′(∑n i=1 gi 3 i)-c=0。此式说明增加 一羊对第i户利润的影响:一方面多养一只羊使该 农户利润增加了v(∑n
i=1 gi3 ),另一方面,由于羊的数量增加而使每只羊的价值比没增加前降低了v′ (∑n i=1 gi3 ),该农户所有羊的价值下降了giv′ (∑ni=1 gi3)。解得第i户最优养羊数量为:gi3
=gi (g1,g2,…gi-1,gi+1,…gn)i=1,2,…n。 即第i户最优养羊数量其他农户养羊数量的函数,构成了第i个农户对其他农户养羊数的反函数,n个反应函数的交叉点构成了纳什均衡[2]。 纳什均衡时的养羊总数为:G3 =∑n i=1 gi3 ,纳什均衡时的利润总和为:π3=G3v(G3) -G3c (1)将n个一阶条件相加得到:V(G3) +G 3 n v′(G3)=c (2) 其中G3、 π3是各农户从自身利益出发分散决策时得到的最优养数之和、最大利润之和。 如果将所有农户看成一个整体统一决策,此时的利润涵数为:π=Gv(G)-Gc。 帕累托最优一阶条件:απΠαG=v(G33)+ G33v′(G 33 )-c=0(3)其解为G33。 帕累托最优利为:π33=G33v(G33)-G 33 c (4) 现假设G3 0, 又由(2)-(3)得:(v(G3) -v(G3 3 )) +( G3 n v′(G3 )-G3 3 v′(G 33 ))=0, ∴G 3n v′(G3) -G3 3 v′(G33 )<0,从而得 到 G3nG 33 >v′(G33 )v′(G3 ) Θv′(G)<0,∴v′(G3 )>v′(G 33 )又Θv′(G)<0,v′(G33)v′(G3)>1从而有G 3 nG33>1,即得到G3>nG33,与假设矛盾。 ∴G3>G33,即纳什均衡时的养羊数大于帕累托最优时养羊数。 QΘπ=Gv(G)-GvαπΠαG=v(G)+Gv′(G)-c=0,G=G33Θα2πΠαG2=2v′(G)+Gv″(G)<0,∴ π是上凸函,从而π在(G33,∞)上是减函数,ΘG3>G33,∴ π33>π3,即纳什均衡时的利润小于帕累托最优时的利润。 由以上分析我们可以得出结论:分散决策时的纳 什均衡养羊数大于统一决策时的帕托最优养羊数,而利润却小于帕累托最大利润。所以分散决策时会造成公共资源的过渡使用和低效。也就是说,个人理性驱动下的纳什均衡总饲养量超过了使集体利益达到最优的饲养量。公共草地被过渡使用,集体没有实现最优,从而也没实现真正意义上的个人最优。 对于如此复杂的算式，我无法给出具体的答案。