分析 （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH．（3）由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．（4）根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD=120°，根据对顶角相等即可得到∠AOE的度数．

解答 解：（1）∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=BD}\end{array}\right.$，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAH}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACH}\end{array}\right.$，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．（4）如图，∵∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，∴∠CBE+∠CDA=60°，∴∠BOD=120°，∴∠AOE=120°．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．