在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”[1]。
跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。
欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。
本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。
目录1 历史2 守恒形式（分量）3 守恒形式（向量）4 非守恒形式（通量雅可比矩阵）4.1 理想气体的通量雅可比矩阵4.2 线性化形式4.3 线性化一维的非耦合波方程5 冲击波6 一维中的方程7 注释8 资料来源及延伸阅读历史第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件。
在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量[2]。
守恒形式（分量）以下是用微分形式写成的欧拉方程：
∂ ρ ∂ t +∇⋅(ρ u)=0 ∂ ρu∂ t +∇⋅( u⊗(ρ u ))+∇p=0 ∂ E ∂ t +∇⋅( u(E+p))=0, {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}其中
ρ为流体的质量密度；u 为流体速度向量，分量为u、v及w；E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )为每一单位容量所含的总能量，其中e为流体每一单位容量所含的内能；p为压力；⊗ {\displaystyle \otimes } 代表张量积。第二条方程包含了一并矢积的散度，用下标标记（每一个j代表从1至3）表示会较易明白：
∂ ( ρ u j) ∂ t + ∑ i=13 ∂ ( ρ u iu j) ∂ x i+∂ p ∂ x j=0, {\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,}其中i及j下标各代表直角坐标系的三个分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。
注意以上方程是用守恒形式的，而守恒形式强调的是方程的物理起因（因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便）。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示：
ρ (∂ ∂ t + u ⋅∇) u +∇p=0 {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}但是在这个形式上，会比较看不出欧拉方程与牛顿第二运动定律的直接关联。
守恒形式（向量）以下是用向量及守恒形式写成的欧拉方程：
∂ m∂ t +∂f x∂ x +∂f y∂ y +∂f z∂ z =0, {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,}其中
m = (ρ ρ u ρ v ρ w E ) ; {\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};} f x = (ρ u p + ρ u 2ρ u v ρ u w u ( E + p ) ) ;f y = (ρ v ρ u v p + ρ v 2ρ v w v ( E + p ) ) ;f z = (ρ w ρ u w ρ v w p + ρ w 2w ( E + p ) ) . {\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}在这个形式下，不难看出fx、fy及fz是通量。
以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程，六个未知数。封闭系统需要一条状态方程；最常用的是理想气体定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ为密度，γ为绝热指数，e为内能）。
注意能量方程的奇特形式；见蓝金-雨果尼厄方程。附加含p的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中，这些附加项的总和为零。
取流线上欧拉方程的积分，假设密度不变，及状态方程具有足够的刚性，可得有名的伯努利定律。
非守恒形式（通量雅可比矩阵）在构建数值解，例如求雷曼问题的近似解的时候，展开通量可以是很重要的一环。使用上面以向量表示的守恒形式方程，展开其通量可得非守恒形式如下：
∂ m∂ t + Ax ∂ m∂ x + Ay ∂ m∂ y + Az ∂ m∂ z =0. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}其中Ax、Ay及Az为通量雅可比矩阵，各矩阵为：
Ax =∂f x( s) ∂ s, Ay =∂f y( s) ∂ s, Az =∂f z( s) ∂ s. {\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}上式中这些通量雅可比矩阵Ax、Ay及Az，还是状态向量m的函数，因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样，都是非线性方程。在状态向量m平滑变动的区间内，这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。
理想气体的通量雅可比矩阵将理想气体定律用作状态方程，可推导出完整的雅可比矩阵形式，矩阵如下[3]：
理想气体的通量雅可比矩阵x方向的通量雅可比矩阵： Ax = [ 0 1 0 0 0γ^ H − u 2− a 2( 3 − γ ) u −γ^ v −γ^ wγ^ − u v v u 0 0 − u w w 0 u 0 u [ ( γ − 2 ) H − a 2] H −γ^ u 2−γ^ u v −γ^ u w γ u ]. {\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}y方向的通量雅可比矩阵：
Ay = [ 0 0 1 0 0 − v u v u 0 0γ^ H − v 2− a 2−γ^ u ( 3 − γ ) v −γ^ wγ^ − v w 0 w v 0 v [ ( γ − 2 ) H − a 2] −γ^ u v H −γ^ v 2−γ^ v w γ v ]. {\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}z方向的通量雅可比矩阵：
Az = [ 0 0 0 1 0 − u w w 0 u 0 − v w 0 w v 0γ^ H − w 2− a 2−γ^ u −γ^ v ( 3 − γ ) wγ^ w [ ( γ − 2 ) H − a 2] −γ^ u w −γ^ v w H −γ^ w 2γ w ]. {\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}其中γ ^ =γ−1 {\displaystyle {\hat {\gamma }}=\gamma -1} .
总焓H为：
H= Eρ + pρ , {\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},}及声速a为：
a=γpρ = (γ−1) [ H− 12(u 2 + v 2 + w 2 )] . {\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.} 线性化形式将含通量雅可比矩阵的非守恒形式，在状态m = m0的周围线性化后，可得线性化欧拉方程如下：
∂ m∂ t + Ax,0 ∂ m∂ x + Ay,0 ∂ m∂ y + Az,0 ∂ m∂ z =0, {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}其中Ax,0 、Ay,0及Az,0分别为Ax、Ay及Az于某参考状态m = m0的值。
线性化一维的非耦合波方程如果弃用守恒变量而改用特征变量的话，欧拉方程可被变换成非耦合波方程。举例说，考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维（1-D）欧拉方程：
∂ m∂ t + Ax,0 ∂ m∂ x =0. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}矩阵Ax,0可被对角化，即可将其分解成：
Ax,0 = P Λ P−1 , {\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},} P= [r1 , r2 , r3 ]= [ 1 1 1 u − a u u + a H − u a1 2u 2H + u a ], {\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],} Λ= [λ 10 0 0 λ 20 0 0 λ 3] = [u − a 0 0 0 u 0 0 0 u + a ] . {\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.}上式中，r1、r2及r3为矩阵Ax,0的右特征向量（若A x R = λ Rx R , {\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ } ，则x_R为右特征向量），而λ1、λ2及λ3则为对应的特征值。
设特征变量为：
w= P−1m, {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,}由于Ax,0不变，原来的一维通量雅可比矩阵方程，乘上P−1后可得：
∂ w∂ t + Λ∂ w∂ x =0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0}经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量wi为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。
冲击波欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得