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高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知定义域为的函数不是偶函数，则（）A． B．C． D．4．设函数若，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．6．已知矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则当矩形的面积最大时，（）A． B． C． D．7．已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（）A． B． C． D．10．已知函数，设，则（）A． B．C． D．11．设，定义在上的函数满足，且，则（）A． B．C．为偶函数 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知为幂函数，则曲线在点处的切线的方程为______．13．设且，则的最小值为______．14．已知函数有3个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）定义区间、、、的长度均为，其中．（1）若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值；（2）若且，求关于的不等式的解集区间长度范围．16．（本小题满分15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在极小值，讨论与的大小关系．17．（本小题满分15分）某制药厂临床试验一批新药的疗效（-因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．（1）请写出服用该药后血液中-因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式；（2）服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？（结果取整数）．（参考数据：）18．（本小题满分17分）已知函数．（1）求函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围．19．（本小题满分17分）已知函数（其中）．（1）当时，证明：是增函数；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．19．（本小题满分17分）已知函数（其中）．（1）当时，证明：是增函数；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．高三数学参考答案、提示及评分细则1．A 因为，所以．故选A．2．B 因为，所以，则，又，所以，从而．故选B．3．D 定义域为的函数是偶函数，所以不是偶函数．故选D．4．A 当时，则，解得；当时，则，解得．综上，的取值范围是．故选A．5．B 对于A，，故是的充要条件；对于B，由得，能推出，反之不成立，所以是的充分不必要条件；对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，所以是的既不充分也不必要条件；对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件．故选B．6．D 设，则，矩形面积，所以，令，解得．当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，从而当时，取得最大值，此时．故选D．7．A 由，记．因为在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，结合图象知，若函数与的图象有两个交点，即原方程有两个不相等的实数解，则需，解得．故选A．8．C 设，则，所以在上单调递增，所以，即，所以；因为，所以，即；又，所以．故选C．9．ABD 对于A，当时，，故A正确；对于B，为全体奇数构成的集合，当为奇数时，也为奇数，故B正确；对于C，，则，但，故C错误；对于D，，当时，，故D正确．故选ABD．10．BC 对于A，设在上单调递增，由，得，即，故A错误；对于B，设，，则在上单调递减，由，得，故B正确；对于C，设，则，所以，当且仅当时取等号，即，故C正确；对于D，由，得，所以（当且仅当时等号成立）；再结合，得，故D错误．故选BC．11．ABD 对于A，令，得，因为，所以，故A正确；对于B，令，代入可得，因为，所以，从而，故B正确；对于C，令，代入得，又因为对，恒成立且不恒为0，所以，从而为奇函数，又不恒等于0，故C错误；对于D，因为，所以，所以为的周期，所以，故D正确．故选ABD．12． 设，将代入得，所以，所以切线方程为，即．13． 因为，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．14． 的定义域是，且．令（，判别式．当时，，则，所以在上单调递减，所以在上最多有1个零点，不符合题意；当时，此时，设方程的两根分别为，且，则，所以异号，即．又，所以，所以，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在上有唯一零点，又因为，且，结合的单调性，得，由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，在上也存在一个零点，又在上有一个零点，所以有三个零点，所以的取值范围为．15．解：（1）由题意知，所以或，设方程的两根分别为，则，所以关于的不等式的解集区间长度为，解得，满足或．（2）若且，则，由及，得，所以，关于的不等式可化为，即，所以其解集区间长度为，范围为．16．解：（1），若，即，则当时，；当时，；当，即，则恒成立；若，即，则当或时，；当时，；若，即，则当或时，；当时，．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，若存在极小值，则，当时，，此时，所以．当时，，因为，所以，所以．17．解：（1）开始时，血液中—因子浓度呈线性增长时，设，将代入，得解得，所以，所以当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，所以当时，，所以（2）设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即，两边取常用对数，得，所以，则，所以至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效．18．解：（1），因为，所以，则，当即时，；当即时，，所以函数在时的值域为．（2）不等式，当时，；当时，，则恒成立，又在上单调递减，在上的值域为，所以；当时，，则恒成立，又在上单调递减，在上的值域为，所以．综上，实数的取值范围为．（3）在上单调递增，因为时，值域为，所以所以是关于的方程的两个不相等的正根，所以有两个不相等的正根，则又，解得．所以正数的取值范围为．19．（1）证明：当时，，因为所以是增函数．（2）证明：因为，所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形．（3）解：易得，当时，在上单调递增，当时，，不符合题意；当时，令，得在上单调递增；令，解得在上单调递减；所以在处取得最小值，且．结合题意，当且仅当成立，即，所以．设，易得在上单调递减，在上单调递增，所以．所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．

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