资源简介

【高考真题】2024年数学新课标Ⅱ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（2024·新课标Ⅱ卷）已知，则（）．A．0 B．1 C． D．2【答案】C【知识点】复数的模【解析】【解答】解：因为复数，所以.故答案为：C.【分析】由题意，根据复数的求模公式求解即可.2．（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题；命题．则（）．A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：命题，当，原不等式转化为，不满足，故命题为假命题，即为真命题；命题，当时，，满足，故命题为真命题，则和都是真命题.故答案为：B.【分析】取特殊值判断命题的真假，从而得的真假，即可得到答案.3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知向量满足，且．则（）．A． B． C． D．1【答案】B【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：因为向量，满足，所以，即①，又因为，所以，即②，联立①②可得.故答案为：B.【分析】由两边平方化简可得，再由，可得，联立求解即可.4．（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）频数 6 12 18 24 10根据表中数据，下列结论中正确的是（）.A．100块稻田亩产量的中位数小于B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过C．100块稻田亩产量的极差介于至之间D．100块稻田亩产量的平均值介于至【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：由表可知：亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）频数 6 12 18 24 10频率 0.06 0.12 0.18 0.24 0.1A、根据频率可知0.06+0.12+0.18=0.36B、由表可知100块稻田中亩产量不低于的频数为24+10=34，则低于的稻田占比为，故B错误；C、100块稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；D、由频数分布表可得，亩产量在的频数为，则100块稻田亩产量的平均值为，故D错误.故答案为：C.【分析】计算出前三段频率即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.5．（2024·新课标Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（）.A． B．C． D．【答案】A【知识点】圆锥曲线的轨迹问题【解析】【解答】解：设点，由题意可得，因为点在圆上，所以，即，则点的轨迹方程为.故答案为：A.【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.6．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数（为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则（）．A．-1 B． C．1 D．2【答案】D【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理【解析】【解答】解：令，因为当时，曲线与恰有一个交点，所以在内有且仅有一个零点，因为，所以函数为偶函数，由偶函数的对称性可知：的零点只能为0，即，解得，下面验证：若，则，因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即有且仅有一个零点O，所以符合题意，则.故答案为：D.【分析】令，易知为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，求得，并代入检验即可.7．（2024·新课标Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为，则与平面ABC所成角的正切值为（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【解答】解：分别取的中点分别为，因为在正三棱台中 ，，所以，则，设正三棱台的为，则，解得，分别过作底面垂线，垂足为，如图所示，设，则，，可得，因为为等腰梯形，所以，即，解得，则与平面ABC所成角的正切值为.故答案为：B.【分析】设正三棱台的为，由棱台的体积公式求得棱台的高，再作辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，最后根据线面夹角的定义求解即可.8．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（）．A． B． C． D．1【答案】C【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质【解析】【解答】解：函数的定义域为，令，解得；令，解得；当时，，要使成立，则，故；当时，，要使成立，则，故；故， 则，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故答案为：C.【分析】根据对数函数的性质分析的符号，再由成立确定的符号，即可得，代入结合二次函数的性质求最值即可.二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分．9．（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列正确的有（）．A．与有相同的零点B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期D．与的图像有相同的对称轴【答案】B,C【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】解：A、函数，则函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，故零点不同，故A错误；B、显然与有相同的最大值 ，故B正确；C、函数的最小正周期均为，故C正确；D、由A可知，函数与的图像的对称轴不相同，故D错误.故答案为：BC.【分析】根据三角函数图象的平移变换即可判断AD；根据函数的最值即可判断B；根据三角函数的最小周期计算即可判断C.10．（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，P为上动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为．则（）．A．与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点P有且仅有2个【答案】A,B,D【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质【解析】【解答】解：A、易知抛物线的准线为，而的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离是，故准线和相切，故A正确；B、当三点共线时，即，则的纵坐标，由，得，故，则切线长，故B正确；C、当时，，，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；故不成立，故C错误；D、设，因为，所以，又因为，，所以，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，满足 ，故D正确.故答案为：ABD.【分析】易知抛物线准线为，由题意，根据圆心到准线的距离即可判断A；当三点共线时，先求出的坐标，再切线长，即可判断B；根据先算出的坐标，再验证是否成立，即可判断C；设，将问题转化成的点的存在性问题求解即可判断D.11．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（）．A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在，使得点为曲线的对称中心【答案】A,D【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理；二项展开式的通项【解析】【解答】解：函数定义域为，A、当时，令，解得，令，解得，故函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，又因为，，则，则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；B、当时，令，解得，函数单调递减；令，解得，函数单调递增，故是函数的极小值点，故B错误；C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，，即，即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.故答案为：AD.【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前项和，若，则 .【答案】95【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，所以，解得，则.故答案为：95.【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.13．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，则 ．【答案】【知识点】两角和与差的正切公式；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：因为，所以，又因为为第一象限角，为第象限角，所以，，则，，又因为，所以，，所以，又因为， ，所以 .故答案为：.【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得，再由，的取值范围求得的范围，最后结合同角三角函数基本关系求解即可.14．（2024·新课标Ⅱ卷）在下图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．【答案】24；112【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分步乘法计数原理【解析】【解答】由题意知，从的方格表，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一行有4种选法，第二行有3种选法，第三行有2种选法，第四行有1种选法，共有种不同的选法；则所有的可能选法结果为：，，，，其中选法的4个数之和最大，最大值为.故答案为：24；112.【分析】由题意可知，根据分步乘法原理求解即可；列举法写出所有的可能结果，找和最大的求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（2024·新课标Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求．（2）若，求的周长．【答案】（1）解：因为，所以，即，即，又因为，所以，故，解得.（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，又因为，所以，所以，解得，由（1）可得：，则，由正弦定理，可得，解得，故的周长为.

【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.16．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．【答案】（1）解：当时，函数，，则，，故切点坐标为，所以切线方程为，即.（2）解：函数的定义域为，，当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；当时，令，解得；令，解得；则函数在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，无极大值，由题意可得：，即，令，，则在上单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.17．（2024·新课标Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，点E，F满足．将沿EF翻折至，使得．（1）证明：．（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.【答案】（1）证明：由，得，又，在中，由余弦定理得，所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故.（2）解：连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，所以，设平面和平面的法向量分别为，，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；余弦定理【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，再利用勾股定理的逆定理可证得，则，最后结合线面垂直的判定定理与性质证明即可；（2）由（1）的结论，根据线面垂直的判定定理与性质证得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.18．（2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设．（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛 （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛 【答案】（1）解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，记甲在第一阶段至少投中1次的事件为A，乙在第二阶段也至少投中1次的事件为B，则，，故比赛成绩不少于5分的概率.（2）解：（i）若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，因为，所以，所以，故甲参加第一阶段比赛；(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，，，，，则，若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理，因为，则，，则，故应该由甲参加第一阶段比赛.【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率求法以及独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）（i）先计算甲、乙参加第一阶段比赛，成绩为15分的概率，，再作差因式分解即可判断；(ii)由题意，先确定甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩和的所有可能取值，再计算相应的概率，列出分布列，计算出各自期望，最后作差比较大小即可.19．（2024·新课标Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．（1）若，求．（2）证明：数列是公比为的等比数列．（3）设为的面积，证明：对任意的正整数．【答案】（1）解：因为点在双曲线上，所以，故双曲线的方程为，当时，过且斜率为的直线为，联立，整理得，解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上，故，，.（2）证明：由题可知，过且斜率为的直线为，联立直线与双曲线方程，得，化简整理可得，由于是一根，则方程必有一根，由根据韦达定理可得另一根，，所以该直线与的另一个交点为，所以，，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.（3）证明：由（2）可得，，故，由于，，则数列是公比为的等比数列，所以对任意的正整数，都有，则①，②，①②两式相减可得，化简整理得，故，因为，，所以和平行，即，故.【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）先根据点在双曲线上求得双曲线方程，再根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；（2）由题意，求得过且斜率为的直线为，联立直线与曲线方程，求交点坐标，结合等比数列的定义证明即可；（3）由（2）的结论，根据平面向量数量积以及等比数列的知识，证明的取值为与无关的定值即可.1 / 1【高考真题】2024年数学新课标Ⅱ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（2024·新课标Ⅱ卷）已知，则（）．A．0 B．1 C． D．22．（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题；命题．则（）．A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知向量满足，且．则（）．A． B． C． D．14．（2024·新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）频数 6 12 18 24 10根据表中数据，下列结论中正确的是（）.A．100块稻田亩产量的中位数小于B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过C．100块稻田亩产量的极差介于至之间D．100块稻田亩产量的平均值介于至5．（2024·新课标Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（）.A． B．C． D．6．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数（为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则（）．A．-1 B． C．1 D．27．（2024·新课标Ⅱ卷）已知正三棱台的体积为，则与平面ABC所成角的正切值为（）A． B．1 C．2 D．38．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（）．A． B． C． D．1二、多项选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分．9．（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数和，下列正确的有（）．A．与有相同的零点B．与有相同的最大值C．与有相同的最小正周期D．与的图像有相同的对称轴10．（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，P为上动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为．则（）．A．与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点P有且仅有2个11．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（）．A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在，使得点为曲线的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024·新课标Ⅱ卷）记为等差数列的前项和，若，则 .13．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，则 ．14．（2024·新课标Ⅱ卷）在下图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（2024·新课标Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求．（2）若，求的周长．16．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．17．（2024·新课标Ⅱ卷）如图，平面四边形ABCD中，，点E，F满足．将沿EF翻折至，使得．（1）证明：．（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.18．（2024·新课标Ⅱ卷）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．（2）假设．（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛 （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛 19．（2024·新课标Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．（1）若，求．（2）证明：数列是公比为的等比数列．（3）设为的面积，证明：对任意的正整数．答案解析部分1．【答案】C【知识点】复数的模【解析】【解答】解：因为复数，所以.故答案为：C.【分析】由题意，根据复数的求模公式求解即可.2．【答案】B【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：命题，当，原不等式转化为，不满足，故命题为假命题，即为真命题；命题，当时，，满足，故命题为真命题，则和都是真命题.故答案为：B.【分析】取特殊值判断命题的真假，从而得的真假，即可得到答案.3．【答案】B【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：因为向量，满足，所以，即①，又因为，所以，即②，联立①②可得.故答案为：B.【分析】由两边平方化简可得，再由，可得，联立求解即可.4．【答案】C【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：由表可知：亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）频数 6 12 18 24 10频率 0.06 0.12 0.18 0.24 0.1A、根据频率可知0.06+0.12+0.18=0.36B、由表可知100块稻田中亩产量不低于的频数为24+10=34，则低于的稻田占比为，故B错误；C、100块稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；D、由频数分布表可得，亩产量在的频数为，则100块稻田亩产量的平均值为，故D错误.故答案为：C.【分析】计算出前三段频率即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.5．【答案】A【知识点】圆锥曲线的轨迹问题【解析】【解答】解：设点，由题意可得，因为点在圆上，所以，即，则点的轨迹方程为.故答案为：A.【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.6．【答案】D【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理【解析】【解答】解：令，因为当时，曲线与恰有一个交点，所以在内有且仅有一个零点，因为，所以函数为偶函数，由偶函数的对称性可知：的零点只能为0，即，解得，下面验证：若，则，因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即有且仅有一个零点O，所以符合题意，则.故答案为：D.【分析】令，易知为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，求得，并代入检验即可.7．【答案】B【知识点】棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角【解析】【解答】解：分别取的中点分别为，因为在正三棱台中 ，，所以，则，设正三棱台的为，则，解得，分别过作底面垂线，垂足为，如图所示，设，则，，可得，因为为等腰梯形，所以，即，解得，则与平面ABC所成角的正切值为.故答案为：B.【分析】设正三棱台的为，由棱台的体积公式求得棱台的高，再作辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，最后根据线面夹角的定义求解即可.8．【答案】C【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的图象与性质【解析】【解答】解：函数的定义域为，令，解得；令，解得；当时，，要使成立，则，故；当时，，要使成立，则，故；故， 则，当且仅当时等号成立，则的最小值为.故答案为：C.【分析】根据对数函数的性质分析的符号，再由成立确定的符号，即可得，代入结合二次函数的性质求最值即可.9．【答案】B,C【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【解答】解：A、函数，则函数的图象向右平移个单位可得函数的图象，故零点不同，故A错误；B、显然与有相同的最大值 ，故B正确；C、函数的最小正周期均为，故C正确；D、由A可知，函数与的图像的对称轴不相同，故D错误.故答案为：BC.【分析】根据三角函数图象的平移变换即可判断AD；根据函数的最值即可判断B；根据三角函数的最小周期计算即可判断C.10．【答案】A,B,D【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质【解析】【解答】解：A、易知抛物线的准线为，而的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离是，故准线和相切，故A正确；B、当三点共线时，即，则的纵坐标，由，得，故，则切线长，故B正确；C、当时，，，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；故不成立，故C错误；D、设，因为，所以，又因为，，所以，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，满足 ，故D正确.故答案为：ABD.【分析】易知抛物线准线为，由题意，根据圆心到准线的距离即可判断A；当三点共线时，先求出的坐标，再切线长，即可判断B；根据先算出的坐标，再验证是否成立，即可判断C；设，将问题转化成的点的存在性问题求解即可判断D.11．【答案】A,D【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理；二项展开式的通项【解析】【解答】解：函数定义域为，A、当时，令，解得，令，解得，故函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，又因为，，则，则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；B、当时，令，解得，函数单调递减；令，解得，函数单调递增，故是函数的极小值点，故B错误；C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，，即，即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.故答案为：AD.【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.12．【答案】95【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为等差数列满足，所以，解得，则.故答案为：95.【分析】设等差数列的公差为，由题意，根据等差数列通项公式列方程组，解出，再利用等差数列的求和公式求解即可.13．【答案】【知识点】两角和与差的正切公式；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：因为，所以，又因为为第一象限角，为第象限角，所以，，则，，又因为，所以，，所以，又因为， ，所以 .故答案为：.【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得，再由，的取值范围求得的范围，最后结合同角三角函数基本关系求解即可.14．【答案】24；112【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分步乘法计数原理【解析】【解答】由题意知，从的方格表，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一行有4种选法，第二行有3种选法，第三行有2种选法，第四行有1种选法，共有种不同的选法；则所有的可能选法结果为：，，，，其中选法的4个数之和最大，最大值为.故答案为：24；112.【分析】由题意可知，根据分步乘法原理求解即可；列举法写出所有的可能结果，找和最大的求解即可.15．【答案】（1）解：因为，所以，即，即，又因为，所以，故，解得.（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，又因为，所以，所以，解得，由（1）可得：，则，由正弦定理，可得，解得，故的周长为.

【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.16．【答案】（1）解：当时，函数，，则，，故切点坐标为，所以切线方程为，即.（2）解：函数的定义域为，，当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；当时，令，解得；令，解得；则函数在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，无极大值，由题意可得：，即，令，，则在上单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.17．【答案】（1）证明：由，得，又，在中，由余弦定理得，所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故.（2）解：连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，所以，设平面和平面的法向量分别为，，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；余弦定理【解析】【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，再利用勾股定理的逆定理可证得，则，最后结合线面垂直的判定定理与性质证明即可；（2）由（1）的结论，根据线面垂直的判定定理与性质证得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可.18．【答案】（1）解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，记甲在第一阶段至少投中1次的事件为A，乙在第二阶段也至少投中1次的事件为B，则，，故比赛成绩不少于5分的概率.（2）解：（i）若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，因为，所以，所以，故甲参加第一阶段比赛；(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，，，，，则，若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理，因为，则，，则，故应该由甲参加第一阶段比赛.【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据对立事件的概率求法以及独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）（i）先计算甲、乙参加第一阶段比赛，成绩为15分的概率，，再作差因式分解即可判断；(ii)由题意，先确定甲、乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩和的所有可能取值，再计算相应的概率，列出分布列，计算出各自期望，最后作差比较大小即可.19．【答案】（1）解：因为点在双曲线上，所以，故双曲线的方程为，当时，过且斜率为的直线为，联立，整理得，解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上，故，，.（2）证明：由题可知，过且斜率为的直线为，联立直线与双曲线方程，得，化简整理可得，由于是一根，则方程必有一根，由根据韦达定理可得另一根，，所以该直线与的另一个交点为，所以，，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.（3）证明：由（2）可得，，故，由于，，则数列是公比为的等比数列，所以对任意的正整数，都有，则①，②，①②两式相减可得，化简整理得，故，因为，，所以和平行，即，故.【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）先根据点在双曲线上求得双曲线方程，再根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；（2）由题意，求得过且斜率为的直线为，联立直线与曲线方程，求交点坐标，结合等比数列的定义证明即可；（3）由（2）的结论，根据平面向量数量积以及等比数列的知识，证明的取值为与无关的定值即可.1 / 1

展开