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重庆市 2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A卷）(全卷共四个大题，满分 150分，考试时间 120分钟 )注意事项：1试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3作图 (包括作辅助线 )请一律用黑色 2B铅笔完成；4考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．2参考公式：拋物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0) b 4ac- b b的顶点坐标为 - 2a， 4a ，对称轴为 x=- 2a．一、选择题：(本大题 12个小题，每小题 4分，共 48分 )在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 5的相反数是 ( )A. - 5 B. 5 C. - 1 D. 15 52.下列图形是轴对称图形的是 ( )A. B. C. D.3.如图，直线 AB，CD被直线 CE所截，ABCD，∠C= 50°，则 ∠1的度数为 EA B( ) 1A. 40° B. 50° C. 130° D. 150°4.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 h(m)随飞行时间 t(s) C D的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 ( ) 3题图A. 5m B. 7m C. 10m D. 13m h/m135.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为 2 : 3．若△ABC的周长为 4，则△DEF的周长是 ( ) 10A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 756.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 5个正方形，第②个图穼中有 9个正方形，第③个图案中有 13个正方形，第④个图案中有 17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为 ( ) O 1 2 3 5 t/s4题图

E① ② ③ ④6题图 BA. 32 B. 34 FC. 37 D. 41CD A O5题图7.估计 3 × (2 3+ 5)的值应在 ( )A. 10和 11之间 B. 9和 10之间 C. 8和 9之间 D. 7和 8之间8.小区新增了一家快递店，第一天揽件 200件，第三天揽件 242件，设该快递店揽件日平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是 ( )A. 200(1+ x)2= 242 B. 200(1- x)2= 242 C. 200(1+ 2x) = 242 D. 200(1- 2x) = 2429.如图，在正方形 ABCD中，AE平分∠BAC交 BC于点 E,点 F是边 AB上一点，连 A D接DF,若 BE= AF,则∠CDF的度数为 ( )A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 77.5° F10.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接 AO交⊙O于点C，延长 AO交⊙O于点D，连接 BD．若∠A=∠D，且 AC= 3，则 AB的长度是 ( ) B E CA. 3 B. 4 C. 3 3 D. 4 2 9题图 x- 1≥ 4x- 1 , D11.若关于 x的一元一次不等式组3 的解集为 x≤-2,且关于 y的5x- 1y- 1 a分式方程 y+ 1 = y+ 1 - 2的解是负整数，则所有满足条件的整数 a的值之 C和是 A BA. - 26 B. - 24 C. - 15 D. - 13 10题图12.在多项式 x- y- z-m- n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：(x- y) - (z-m- n) = x- y- z+m+ n，x- y- (z-m) - n= x- y- z+m- n， ．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0；③所有可能的“加算操作”共有 8种不同运算结果．其中正确的个数是 ( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、填空题 (本大题四个小题，每小题 4分，共 16分 )请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.计算：|-4|+ (3- π)0= D14.有三张完全一样正面分别写有字母 A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一 A F CE张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是15.如图，菱形 ABCD中，分别以点 A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别 B交对角线 AC于点 E，F．若 AB= 2，∠BAD= 60°，则图中阴影部分的面积 15题图为 ． (结果不取近似值 )16.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为 5 : 6 : 7，需香樟数量之比为 4 : 3 : 9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为 2 : 3．在实际购买时，香樟的价格比预算低 20%，红枫的价格比预算高 25%，香樟购买数量减少了 6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．三、解答题：(本大题 2个小题，每小题 8分，共 16分 )解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形 (包括辅助线 )，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．217. (1) (x+ 2)2+ x(x- 4) (2) a - 1 ÷ a - b2计算： ； b 2b ．18.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形 ABCD中，E是 AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形 ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点 E作 BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点 E作 BC的垂线 EF，垂足为 F(只保留作图 迹 )．在△BAE和△EFB中，∵ EF⊥ BC， A E D∴∠EFB= 90°．又∠A= 90°，∴ ①∵ AD BC，∴ ② B C18题图又 ③∴△BAE≌△EFB(AAS)．同理可得 ④∴ S△BCE= S△EFB+ S1 1 1△EFC= 2 S矩形 ABFE+ 2 S矩形 EFCD= 2 S矩形 ABCD.四、解答题：(本大题 7个小题，每小题 10分，共 70分 )解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包拈辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上.19.公司生产 A、B两种型号的扫地机器人 ,为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的 A、B型扫地机器人中各随机抽取 10台，在完全相同条件下试验 ,记录下它们的除尘量的数据（单位 : g）,并进行整理、描述和分析（除尘量用 x表示 ,共分为三个等级：合格 80≤ x给出了部分信息：10台 A型扫地机器人的除尘量：83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.10台 B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表 抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图“优秀”等级所占百型号 平均数 中位数 众数 方差 优秀 合格分比 m%A 90 89 a 26.6 40%B 90 b 90 30 30% 良好根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a= ，b= ,m= ;(2)这个月公司可生产 B型扫地机器人共 3000台，估计该月 B型扫地机器人“优秀”等级的台数；(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）.20.已知一次函数 y= kx+ b(k≠ 0)的图象与反比例函数 y= 4x 的图象相交于点 A(1,m)． B(n,-2)．(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2) 4根据函数图象，直接写出不等式 kx+ b> x 的解集；(3)若点C是点 B关于 y轴的对称点，连接 AC，BC，求△ABC的面积．y6543216 5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 6 x12345620题图21.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 A地沿相同路线骑行去距 A地30千米的 B地，已知甲骑行的速度是乙的 1.2倍．(1)若乙先骑行 2千米，甲才开始从 A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行 20分钟，甲才开始从 A地出发，则甲、乙恰好同时到达 B地，求甲骑行的速度．22.如图，三角形花园 ABC紧邻湖泊，四边形 ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点 C在点 A的正东方向，AC= 200米．点 E在点 A的正北方向．点 B，D在点C的正北方向，BD= 100米．点 B在点 A的北偏东 30°，点D在点 E的北偏东 45°．(1)求步道DE的长度 (精确到个位 )；(2)点D处有直饮水，小红从 A出发沿人行步道去取水，可以经过点 B到达点D，也可以经过点 E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732)D北B45° 西 东南E30°A C23.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M= 2543，∵ 32+ 42= 25，∴ 2543是“勾股和数”；又如：M= 4325，∵ 52+ 22= 29，29≠ 43，∴ 4325不是“勾股和数”．(1)判断 2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2) c+ d一个“勾股和数”M的千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记G(M ) = 9 ，P( ) = |10(a- c) + (b- d)|M 3 ．当G(M )，P(M )均是整数时，求出所有满足条件的M．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 1 x22 + bx+ c与直线 AB交于点 A(0,-4)，B(4,0)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点 P是直线 AB下方拋物线上的一动点，过点 P作 x轴的平行线交 AB于点C，过点 P作 y轴的平行线交 x轴于点D，求 PC+ PD的最大值及此时点 P的坐标；(3)在 (2)中 PC+ PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移 5个单位，点 E为点 P的对应点，平移后的抛物线与 y轴交于点 F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点 E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．y yD B BO x O xCPA A备用图25.如图，在锐角△ABC中，∠A= 60°，点D，E分别是边 AB，AC上一动点，连接 BE交直线CD于点 F．(1)如图1，若 AB> AC，且 BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若 AB= AC，且 BD= AE，在平面内将线段 AC绕点C顺时针方向旋转 60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段 BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若 AB= AC，且 BD= AE，将△ABC沿直线 AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是 AP的中点，点K是线段 PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接 PQ．在点PQD，E运动过程中，当线段 PF取得最小值，且QK⊥ PF时，请直接写出 BC 的值．A A M AD NEDEFFB C B C B C图 1 图 2 备用图[机密]2022年6月14日11：00前重庆市2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(A卷)参考答案及评分意见一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）题号123567891011答案DBCBAC12CD二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）D13.5:14.,15.25-24:16.35三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）17.解：(1)原式=x2+4x+4+x2-4x=2x2+4.(2)原式=a-b2b…(4分)b (a+b)(a-b)2a+b.(8分)18.解：作图如答图：…（4分)①∠A=∠EFB;②∠I=∠2或∠AEB=∠FBE:③BE-EB:④△CDE≌△EFC.(8分)四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）19.解：（1)95,90,20.18题答图《2）:从B型扫地机器人抽取的10台中，优秀”等级的百分比是30%，.(3分):估计该月B型扫地机器人“优东二策级的台数为300x30%90《台》.答：估计该B型扫地机器人“优秀：等级的分数为900台.（6分)(3)A型扫地机器人封地质昼更好.理出如下：①A型打地机器人除上斑众数5商于B型扫地机器人除尘缎的众数90。②人、B两种打地机器人除尘位的平均数都是90，A型扫地机器人除尘址的方差26.6低于B型打地机器人除尘量的方差30： 人型打地机器人除尘的优秀”等级所占百分比40%高于B型扫地器人除尘屉的“优秀”等级所古百分比30%.B型扫地机器人打城址地好、理由如下：B型扫地机器人除尘量的中位玫90商于Λ型扫地机器人除尘壁的中位数89..（0分）数学试题(A)参考答案及评分意见第1贞（共6页）20.解：(1)将点A,m,B,-2)代入y=4中，y=2x+2得m=,-2=n3解得m=4,n=-2,.2即点A1,4),B(-2,-2)申题意，得6.5-43-213456xk+b=4,-2k+b=-2:3解这个方程组，得k=2,b=2.所以，一次函数的表达式为y=2x+2.20题答图一次的数y=2x+2的图象如答图.….(4分)(2)-21.…(7分)(3),点C是点B(-2,-2)关于y轴的对称点，.点C(2,-2),.BC=2-(-2)=4.过点A作AH⊥BC于点H(如答图).A1,4),∴.AH=4-(-2)=6,.Sc=BC1-5×4×6=12.2(10分)21.解：(1)设乙骑行的速度是x千米时，则甲骑行的速度是1.2x千米/时.由题意，得×1.2x=x+2.3解这个方程，得x-20.则1.2x-24.答：甲骑行的速度是24千米/时.。(2)设乙骑行的速度是y千米时，则甲骑行的速度是12y千米/时..（5分)由题意，得3020301.2y60y解这个方程，得y=15.经检验，15是原方程的解且符合题意。则1.2y=18.答：甲骑行的速度为18干米时.…（10分)数学试题A老)参考答案及评分意见第2页（关6或）重庆市 2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试题 (A卷 )(全卷共四个大题，满分 150分，考试时间 120分钟 )注意事项：1试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3作图 (包括作辅助线 )请一律用黑色 2B铅笔完成；4考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．2参考公式：拋物线 y= ax 2+ bx+ c(a≠ 0) b 4ac- b b的顶点坐标为 - 2a， 4a ，对称轴为 x=- 2a．一、选择题：(本大题 12个小题，每小题 4分，共 48分 )在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 5的相反数是 ( A )A. - 5 B. 5 C. - 15 D.152.下列图形是轴对称图形的是 ( D )A. B. C. D.3.如图，直线 AB，CD被直线CE所截，AB CD，∠C= 50°，则∠1的度数为 ( C )A. 40° B. 50° C. 130° D. 150°EA B1C D4.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度 h(m)随飞行时间 t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 ( D )A. 5m B. 7m C. 10m D. 13mh/m131075O 1 2 3 5 t/s5.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为 2 : 3．若△ABC的周长为 4，则△DEF的周长是( B )A. 4 B. 6 C. 9 D. 16 EBFCD A O16.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有 5个正方形，第②个图穼中有 9个正方形，第③个图案中有 13个正方形，第④个图案中有 17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为 ( C )

① ② ③ ④A. 32 B. 34 C. 37 D. 417.估计 3 × (2 3+ 5)的值应在 ( B )A. 10和 11之间 B. 9和 10之间 C. 8和 9之间 D. 7和 8之间8.小区新增了一家快递店，第一天揽件 200件，第三天揽件 242件，设该快递店揽件日平均增长率为 x，根据题意，下面所列方程正确的是 ( A )A. 200(1+ x)2= 242 B. 200(1- x)2= 242 C. 200(1+ 2x) = 242 D. 200(1- 2x) = 2429.如图，在正方形 ABCD中，AE平分∠BAC交 BC于点 E,点 F是边 AB上一点，连接 DF,若 BE= CE,则∠CDF的度数为 ( C )A. 45° B. 60° C. 67.5° D. 77.5°A DFB E C10.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接 AO交⊙O于点C，延长 AO交⊙O于点D，连接 BD．若∠A=∠D，且 AC= 3，则 AB的长度是 ( C )A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 4 2DOCABx x- 1≥4x- 1 , y- 111. a若关于 的一元一次不等式组 3 的解集为 x≤-2,且关于 y的分式方程 =5x- 1- 2的解是负整数，则所有满足条件的整数 a的值之和是 ( D )A. - 26 B. - 24 C. - 15 D. - 13212.在多项式 x- y- z-m- n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：(x- y) - (z-m- n) = x- y- z+m+ n，x- y- (z-m) - n= x- y- z+m- n， ．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0；③所有可能的“加算操作”共有 8种不同运算结果．其中正确的个数是 ( D )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】我们将括号 (称为左括号，)称为右括号，左括号加在最左侧则不改变结果①正确；②不管如何加括号，x的系数始终为 1，y的系数为-1，故②正确；③我们发现加括号或者不加括号只会影响 z、m、n的符号，故最多有 23= 8种结果x- (y- z) -m- n,x- y- (z-m) - n,x- y- z- (m- n) ,x- (y- z-m) - n,x- y- (z-m- n) ,x- (y- z) - (m- n) ,x- (y- z-m- n) ,(x- y) - z-m- n二、填空题 (本大题四个小题，每小题 4分，共 16分 )请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.计算：|-4|+ (3- π)0= 5 .14.有三张完全一样正面分别写有字母 A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡1片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 3 15.如图，菱形 ABCD中，分别以点 A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线 AC于点 E，F．若 AB2= 2，∠BAD= 60° 2 3- π，则图中阴影部分的面积为 3 ． (结果不取近似值 )DA F CEB16.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为 5 : 6 : 7，需香樟数量之比为 4 : 3 : 9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为 2 : 3．在实际购买时，香樟的价格比预算低 20%，红枫的价格比预算高 25%，香樟购买数量减少了 6.25%，结果发现所3花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 5 ．【解析】设三座山各需香樟数量分别为 4、3、9.甲、乙两山需红枫数量 2a、3a．∴ 4+ 2a 53+ 3a = 6 ,∴ a= 3,故丙山需要香樟 9，红枫 5，设香樟和红枫价格分别为m、n．∴ 16m+ 20n= 16 1- 6.25% × 0.8m+ 20n× 1.25,∴m : n= 5 : 4,∴ 16× 1- 6.25% × 0.8× 5实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 20× 1.25× 4 = 0.6三、解答题：(本大题 2个小题，每小题 8分，共 16分 )解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形 (包括辅助线 )，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．2 217.计算：(1) (x+ 2)2+ x(x- 4) (2) a； b - 1 ÷a - b2b ．【解析】 1 原式= x2+ 4x+ 4+ x2- 4x= 2x2+ 4 2 = a- b原式 b ×2b = 2 a+ ba- ba+ b318.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形 ABCD中，E是 AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形 ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点 E作 BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点 E作 BC的垂线 EF，垂足为 F(只保留作图 迹 )．在△BAE和△EFB中，∵ EF⊥ BC， A E D∴∠EFB= 90°．又∠A= 90°，∴ ∠A=∠EFB ①∵ AD BC，∴ ∠AEB=∠FBE ② B C又 BE= EB ③∴△BAE≌△EFB(AAS)．同理可得 △EDC≌△CFE AAS④∴ S△BCE= S1 1 1△EFB+ S△EFC= 2 S矩形ABFE+ 2 S矩形EFCD= 2 S矩形ABCD四、解答题：(本大题 7个小题，每小题 10分，共 70分 )解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形 (包拈辅助线 )，请将解答过程书写在对应的位置上.19.公司生产 A、B两种型号的扫地机器人 ,为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的 A、B型扫地机器人中各随机抽取 10台，在完全相同条件下试验 ,记录下它们的除尘量的数据 (单位 : g) ,并进行整理、描述和分析 (除尘量用 x表示 ,共分为三个等级：合格 80≤ x给出了部分信息：10台 A型扫地机器人的除尘量：83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.10台 B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的 A、B型扫地机器人除尘量统计表 抽取的 B型扫地机器人除尘量扇形统计图“优秀”等级所占百型号 平均数 中位数 众数 方差 优秀 合格分比 m%A 90 89 a 26.6 40%B 90 b 90 30 30% 良好根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a= 95 ，b= 90 ,m= 20 ;(2)这个月公可生产 B型扫地机器人共 3000台，估计该月 B型扫地机器人“优秀”等级的台数；(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由 (写出一条理由即可 ).【解析】 2 3000× 30%= 900台 3 A型号更好，在平均数均为 90的情况下，A型号的平均除尘量众数 95> B型号的平均除尘量众数 90420.已知一次函数 y= kx+ b(k≠ 0) 4的图象与反比例函数 y= x 的图象相交于点 A(1,m)． B(n,-2)．(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式 kx+ b> 4x 的解集：(3)若点C是点 B关于 y轴的对称点，连接 AC，BC，求△ABC的面积．y6543216 5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 6 x12345620题图【解析】(1)解：A(1,4)，B(-2,-2) ,AB解析式为 y= 2x+ 2(2) - 2 1(3)S 1△ABC= 2 × 4× 6= 1221. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 A 地沿相同路线骑行去距 A 地30 千米的 B 地，已知甲前行的速度是乙的 1.2 倍．(1)若乙先骑行 2 千米，甲才开始从 A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行 20 分钟，甲才开始从 A 地出发，则甲、乙恰好同时到达 B 地，求甲骑行的速度．【解析】解 (1)设乙的速度为 xkm/h，则甲的速度为 1.2xkm/h，由题意可列式 0.5 × 1.2x = 0.5x + 2, 解得 x = 20答：甲骑行的速度为 24km/h(2)20 1分钟= 3 小时30由题意可列式 x -13 =301.2x解得 x= 15，检验成立答：甲骑行的速度为 18km/h522.如图，三角形花园 ABC紧邻湖泊，四边形 ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点 A的正东方向，AC= 200米．点 E在点 A的正北方向．点 B，D在点C的正北方向，BD= 100米．点 B在点 A的北偏东 30°，点D在点 E的北偏东 45°．(1)求步道DE的长度 (精确到个位 )；(2)点D处有直饮水，小红从 A出发沿人行步道去取水，可以经过点 B到达点D，也可以经过点 E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732) D北【解析】 1 过 E作 BC的垂线，垂足为H， B西 东∴ EH= AC= 200，DE= 200 2 ≈ 283 45°米；南 2 AB= 400,∴经过点 B到达点D,总路程为 500， E∵ BC= 200 3,AE= BC+ BD-DH= 200 3+ 100- 200= 200 3- 100 30°经过点 E到达点D,总路程为 200 2+ 200 3- 100≈ 529> 500 A C故经过点 B到达点D较近。23.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M= 2543，∵ 32+ 42= 25，∴ 2543是“勾股和数”．又如：M= 4325，∵ 52+ 22= 29，29≠ 43，∴ 4325不是“勾股和数”(1)判断 2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2) M c+ d一个“勾股和数” 的千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记G(M ) = 9 ，P( ) = |10(a- c) + (b- d)|M 3 ．当G(M )，P(M )均是整数时，求出所有满足条件的M．【解析】 1 22+ 22= 8,8≠ 20,∴ 1022不是“勾股和数”，52+ 52= 50，∴ 5055是“勾股和数”； 2 ∵M为“勾股和数”，∴ 10a+ b= c2+ d2，∴ 0∵G(M ) c+ d为整数，∴ 9 为整数，∴ c+ d= 9,P M = 10a+ b- c- d 2=c + d2- 93 3 为整数，∴ c2+ d2= 81- 2cd为 3的倍数∴① c= 0,d= 9或 c= 9,d= 0,此时M= 8109或 8190；② c= 3,d= 6或 c= 6,d= 3,此时M= 4536或 4563.624. 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 22 x + bx+ c与直线 AB交于点 A(0,-4)，B(4,0)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点 P是直线 AB下方拋物线上的一动点，过点 P作 x轴的平行线交 AB于点C，过点 P作 y轴的平行线交 x轴于点D，求 PC+ PD的最大值及此时点 P的坐标；(3)在 (2)中 PC+ PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移 5个单位，点 E为点 P的对应点，平移后的抛物线与 y轴交于点 F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点 E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．y yD B BO x O xCPA A备用图1【解析】 1 y= 22 x - x- 4; 2 设 PD交 BC于H，∵∠OBC=∠BCP= 45° ,∴ PC= PH设 P t, 12 t2- t- 4 ,∴H t,t- 4 ,D t,0 ∴ PC+ PD= PH+ PD=-t2+ 3t+ 4∴ t= 3 25 3 352 时，PC+ PD取得最大值 4 ，此时 P 2 ,- 8 1 7 3 新抛物线解析式为 y= x22 + 4x+ 2 ,E - 7 ,- 352 8 ,F 0,72 ，设M -4,m ,N n,1 n22 + 4n+72 ① EF为对角线，∴-4+ n=- 72 ,∴ n=1 1 452 ,N1 2 , 8 ;② EM 15为对角线，n=- 2 ,N2 -152 ,138 ③ EN 1 1 13为对角线，n=- 2 ,N3 - 2 , 8 725.如图，在锐角△ABC中，∠A= 60°，点D，E分别是边 AB，AC上一动点，连接 BE交直线CD于点 F．(1)如图 1，若 AB> AC，且 BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图 2，若 AB= AC，且 BD= AE，在平面内将线段 AC绕点C顺时针方向旋转 60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段 BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)若 AB= AC，且 BD= AE，将△ABC沿直线 AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是 AP的中点，点K是线段 PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接 PQ．在点PQD，E运动过程中，当线段 PF取得最小值，且QK⊥ PF时，请直接写出 BC 的值．A A M A【解析】 1 如图 1，在射线CD上取一点 D ND EK，使得CK= BE，∴E△CBE≌△BCK FF∴ BK=CE= BD,∴B C B C B∠BKD=∠BDK= C图 1 图 2 备用图∠CEB=∠ADF∴∠ADF+∠AEF=∠AEF+∠CEB= 180° ,∴∠A+∠DFE= 180°∴∠DFE= 120° ,∴∠EFC= 60° 2 △ABE≌△BCD,∴∠BCF=∠ABE,∴∠FBC+∠BCF= 60° ,∴∠BFC= 120°方法一：倍长CN至Q，连接 FQ，∴△CNM≌△QNF,∴ FQ=CM= BC延长CF至 P，使得 PF= BF，∴△OBF为正三角形∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM= 120° ,∴∠PFQ=∠FCM=∠PBC∵ PB= PF,∴△PFQ≌△PBC,∴△PCQ为正三角形∴ BF+CF= PC=QC= 2CNMA Q PN MP M F NK ED N B C QF FF PBB CB CC Q图 1 图 2-1 图 2-2 图 2-3方法二：如图 2-2，倍长MC得等边△BCQ,再证△BPC≌△BFQ方法三：如图 2-3，将△BFC绕C顺时针旋转 120°得△MPC,∴∠FPM= 90° ,∵NP= FN∴CN 1 1 1垂直平分 FP，且∠CFQ= 30° ,∴CN=CQ+NQ= 2 CF+ 2 MP= 2 BF+CF3 由 2 知∠BFC= 120° ,∴ F轨迹为红色圆弧，∴ P、F、O三点共线时，PF取得最小值此时 tan∠APK= AOAP =2 ,∴∠HPK> 45°3 H A∵QK⊥ PF,∴∠PKH=∠QKH= 45°, P Q P H A设HL= LK= 2,PL= 3,PH= 7,HK= 2 2, Q2 2+ 3 K L等面积法得 PQ= 2×2 2 BPQ C K∴ 2+ 3 2 14+ 42BC = =14 14 图 3-1 O 图 3-28

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