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甘肃省兰州市2024届中考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的绝对值是()A. B. C. D.2．已知，则的补角是()A. B. C. D.3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好.一季度全市地区生产总值87790000000元.数据87790000000用科学记数法表示为()A. B. C. D.4．计算：()A.a B. C. D.5．一次函数的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6．如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是()A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为()A. B. C. D.8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是()A. B. C. D.9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则()A. B.4 C. D.110．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为()A. B. C. D.11．如图，在中，，，，则()A. B. C. D.12．如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为()A. B. C. D.二、填空题13．因式分解______.14．如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则______.15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______.16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高.其中正确的是______.（填序号）三、解答题17．计算：.18．解不等式组：.19．先化简，再求值：，其中.20．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接.（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当时，求的面积.21．如图，在中，，D是的中点，，，.（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长.22．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度.23．观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接；②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落点记为点D；④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角.操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，，请画出发点A为顶点的直角，记作；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：，与是等腰三角形.，.（依据1______）.，（依据2______），.依据1：______；依据2：______；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作，使得直角边（或）在直线l上.（保留作图痕迹，不写作法）24．为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）.对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下.信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下.信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下.分组人数 m 7 2 7信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）.根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：______；（2）下列结论正确的是______；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数.25．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求的长.（结果精确到）参考数据：，，，，，.26．如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得.（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长.27．综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且.【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，.试猜想四边形的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值.28．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，，，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”.（1）如图1，已知图形：线段，，，在，，中，______是图形的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”.请直接写出t的取值范围.参考答案1．答案：A解析：的绝对值是，故选：A.2．答案：A解析：，补角为：.故选A.3．答案：C解析：数据87790000000用科学记数法表示为.故选：C.4．答案：D解析：故选：D.5．答案：B解析：，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；故选：B.6．答案：B解析：，福大街与平安大街互相平行，判断的依据是：内错角相等，两直线平行，故选：B.7．答案：C解析：点D，E，分别为，的中点，为的中位线，；故选：C.8．答案：D解析：一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：，故选：D.9．答案：D解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，解得：，故选：D.10．答案：A解析：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：；故选A.11．答案：B解析：，，，，，.故选：B.12．答案：C解析：根据题意知，，，四边形为菱形，，，过点M作于点H，连接交于点O，如图，则，那么，的面积为，设菱形的边长为a，，点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，，解得，（负值舍去），.故选：C.13．答案：解析：.故答案为：.14．答案：2解析：四边形为正方形，为等边三角形，，，，，，，，；故答案为：2.15．答案：108解析：根据题意得：点P移动的距离为，，解得：.故答案为：108.16．答案：①②解析：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误.故答案为：①②.17．答案：解析：原式.18．答案：解析：，由①，得：；由②，得：；不等式组的解集为：.19．答案：，解析：原式；当时，原式.20．答案：（1），（2）解析：（1）反比例函数与一次函数的图象交于点，，，，，反比例函数为：，一次函数的解析式为：.（2），，轴于点C，交一次函数的图象于点D，点B的横坐标为4.点D的横坐标为4.，，，，，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，，点E的纵坐标为，，把代入，得，，点，，.21．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：，D是BC的中点，，，，，又，，四边形是矩形.（2）由（1）可知四边形是矩形.，，，D是的中点，，在中，，，，即，.22．答案：（1）抛物线的表达式（2）水火箭距离地面的竖直高度5米解析：（1）根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，则抛物线的表达式.（2）由题意知，则，那么，水火箭距离地面的竖直高度5米.23．答案：（1）见详解（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理（3）见详解解析：（1）（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）24．答案：（1）4（2）①③（3）18解析：（1），故答案为：4.（2）①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确.②一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，中位数位于之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误.③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确，故有①③正确，故答案为①③.（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人.故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人.25．答案：的长为解析：，，；，，，，，，；的长为.26．答案：（1）见解析（2）解析：（1）连接，则：，，为的直径，，，，，，，，，，即：，，是的半径，是的切线；（2），，由（1）知：，，由（1）知：，又，，，，，，即：，解得：（舍去）或，.27．答案：（1）见详解（2）四边形为平行四边形（3）解析：（1）证明：为等边三角形，，，绕点M逆时针旋转得到，，，，，，，；（2）四边形为平行四边形，理由如下，，，，绕点M逆时针旋转得到，，，，，则，在和中，，，，，，，，，则四边形为平行四边形.（3）如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，，，，，，，又，，，，当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，，，，，，，，，，在中，，的最小值为.28．答案：（1），（2）（3）或解析：（1）作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形，，，，，点P是图形的“延长2分点”，点P在线段上，，在线段上，，是图形的“延长2分点”；故答案为：，；（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，，，，，直线上存在点P是图形的“延长2分点”，直线与有交点，当过点时，b值最小，把，代入，得：，b的最小值为；（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，，，，，，，等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，当与有交点时，满足题意，当与相切时，如图，则：或，时，满足题意；当与相切时，且切点为G，连接，则：，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，，，，，轴，，以为圆心，半径为1的，T点在直线上，，，，或，；综上：或.

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