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2023年辽宁省沈阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 的相反数是()A. B. C. D.2. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是()A.B.C.D.3. 我国自主研发的口径球面射电望远镜有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为()A. B. C. D.4. 下列计算结果正确的是()A. B.C. D.5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.6. 某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据：容量人数则双肩包容量的众数是()A. B. C. D.7. 下列说法正确的是()A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件B. 抛出的篮球会下落是随机事件C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定8. 已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是()A. ，B. ，C. ，D. ，9. 二次函数图象的顶点所在的象限是()A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限10. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是()A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 因式分解：______．12. 当时，代数式的值为______ ．13. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ 用“”“”或“”填空14. 如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交直线于点；若，则 ______ 度15. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 ______ 时，羊圈的面积最大．16. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题分计算：．18. 本小题分为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类分别用，，依次表示这三类比赛内容现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．19. 本小题分如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接，求证：四边形是菱形．20. 本小题分“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置了五种选项：“艺术类”，“文学类”，“科普类”，“体育类”，“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：此次被调查的学生人数为______ 名；请直接补全条形统计图；在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是______ 度；根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜爱“科普类”图书．21. 本小题分甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．22. 本小题分如图，是的直径，点是上的一点点不与点，重合，连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．求证：是的切线；若的半径为，，则的长为______ ．23. 本小题分如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点点不与点重合，过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．求的值和直线的函数表达式；以线段，为邻边作 ，直线与轴交于点．当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；连接，，当的面积为时，请直接写出的值．24. 本小题分如图，在 纸片中，，，，点为边上的一点点不与点重合，连接，将 纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，射线与射线交于点．求证：；如图，当时，的长为______ ；如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接，，求的面积．25. 本小题分如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．求这个二次函数的表达式；点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设．连接，当与相似时，求的值；当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．答案和解析1.【答案】 【解析】解：的相反数是．故选：．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2.【答案】 【解析】解：此几何体的主视图从左往右分列，小正方形的个数分别是，，．故选：．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．3.【答案】 【解析】解：，故选：．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．4.【答案】 【解析】解：、，故此选项错误，不符合题意；B、，故此选项错误，不符合题意；C、，故此选项错误，不符合题意；D、，正确，符合题意．故选：．直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算和积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】 【解析】解：不等式的解集在数轴上表示为：故选：．根据在数轴上表示不等式解集的方法表示不等式的解集即可．本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是正确解答的关键．6.【答案】 【解析】解： 出现次，出现次数最多，众数是，故选：．根据一组数据中出现次数最多的数叫众数，直接求解即可得到答案．本题考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数叫众数．7.【答案】 【解析】解：、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意；B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意；C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故D符合题意；故选：．根据随机事件，全面调查与抽样调查，方差的意义，逐一判断即可解答．本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，方差，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，则，．故答案为．本题考查一次函数的系数，对图象的影响．一次函数图象经过第一、三、四象限，则，．本题考查了一次函数的系数，对图象的影响，这属于常考的基础题型．要理解时，图象过一、三象限，时，图象过二、四象限；是图象与轴交点的纵坐标，这样就可以很容易找出正确答案．9.【答案】 【解析】解：，顶点坐标为，顶点在第二象限．故选：．首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．10.【答案】 【解析】解：四边形内接于，，，，的长．故选：．根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：，，提取公因式完全平方公式故答案为：．先提取公因式，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．12.【答案】 【解析】解：当时，原式．故答案为：．先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果．此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：令，则，令，则，，，故答案为：．把和分别代入反比例函数中计算的值，即可作出判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，计算出的值是解题的关键．14.【答案】 【解析】解：由作图得：平分，，，，，故答案为：．根据角平分线的性质及平行线的性质求解．本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质及平行线的性质是解题的关键．15.【答案】 【解析】解：设为，面积为，由题意可得：，当时，取得最大值，即时，羊圈的面积最大，故答案为：．根据题意和图形，可以写出面积与的长之间的函数关系式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质，即可得到当为何值时，羊圈的面积最大．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．16.【答案】或 【解析】解：当在线段上时，连接，过点作于，当在线段上时，，，，，点是线段的中点，，，，，，，，，，当在延长线上时，则，是线段的中点，，，，，，，，，，，，的长为或．故答案为：或．连接，过点作于，分两种情况：当在线段上时，由勾股定理可得的长，再由直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可得答案；当在延长线上时，则，根据直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可得答案．此题考查的是等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，进行分类讨论是解决此题的关键．17.【答案】解：原式． 【解析】根据零指数、负指数、二次根式、特殊三角函数值的性质计算即可．本题考查了实数的混合计算，零指数幂、负整指数幂、二次根式、特殊三角函数值的性质是解题关键．18.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有种，所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为． 【解析】用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．19.【答案】证明：，是边上的中线，垂直平分，，，，，，，≌，，，四边形是菱形． 【解析】由等腰三角形的性质，得到垂直平分，由线段垂直平分的性质推出，，由，得到，，又，即可证明≌，得到，即可证明四边形是菱形．本题考查菱形的判定，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质，得到垂直平分，推出，，由≌，得到．20.【答案】【解析】解：此次被调查的学生人数为：名，故答案为：；类的人数为：名，补全条形统计图如下：在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：，故答案为：；名，答：估计该校名学生中，大约有名学生最喜爱“科普类”图书．用的人数除以对应百分比可得样本容量；用样本容量减去其它四类的人数可得类的人数，进而补全条形统计图；用乘“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；用总人数乘样本中类所占百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：乙每小时加工个这种零件． 【解析】设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】 【解析】证明：是的直径，，，，，，，，，，，即．为的半径，是的切线；解：，，，设，则，，，，，是的直径，，，，解得：不合题意，舍去或．．故答案为：．利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，利用的代数式表示出线段，，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论．本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．23.【答案】解：点在直线上，，一次函数的图象过点和点，，解得，直线的解析式为；点在直线上，且的横坐标为，的纵坐标为：，点在直线上，且点的横坐标为，点的纵坐标为：，，点，线段的长度为，，，，即；的面积为，，即，解得，由知，，，解得，即的值为． 【解析】根据直线的解析式求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可；用含的代数式表示出，再根据得出结论即可；根据面积得出的值，然后根据的关系式得出的值即可．本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．24.【答案】 【解析】证明：四边形是平行四边形，，，由折叠得：，，，，；解：如图，作，交的延长线于，在 中，，，，，四边形是矩形，由知：，矩形是正方形，，，故答案为：；解：如图，作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，，，，，，，由知：，，，又 纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，，，，，，同理可得：，，在中，，，，，，，设，，，，，由得，，，，，，，，，．可推出，，从而，因为，所以；作，交的延长线于，可推出矩形是正方形，可得出，进而得出结果；作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，解直角三角形，依次求得、、、的值，进而求得的值，根据得出，从而求得，同样求得，从而得出的值，解求得，从而得出的值，根据得出，从而设，，进而表示出，进而根据列出，从而得出，进一步得出结果．本题考查了平行四边形的性质，矩形、正方形的判定和性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，熟练运用解直角三角形．25.【答案】解：二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，，解得：，此抛物线的解析式为；令，则，解得：或，，．，，，，四边形为矩形，，，，，，，Ⅰ当∽时，，，；Ⅱ当∽时，，，．综上，当与相似时，的值为或；点与点重合，．，，，，．，，四边形为平行四边形，，，，，，．在和中，，≌，，．．Ⅰ当所在直线与垂直时，如图，，，，，，三点在一条直线上，．过点作轴于点，则，，，此时点的横坐标为；Ⅱ当所在直线与垂直时，如图，，，设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．，，．，．，，此时点的横坐标为；Ⅲ当所在直线与垂直时，如图，，，，，，三点在一条直线上，则，过点作，交的延长线于点，，此时点的横坐标为．综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或． 【解析】利用待定系数法解答即可；利用已知条件用含的代数式表示出点，，，的坐标，进而得到线段的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于的方程，解方程即可得出结论；利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得，和的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答，利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论．本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键．

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