资源简介

2022年广东省深圳市宝安区中考数学二模试卷一.选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）1．﹣的倒数是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣2．2月4日，正值立春，2022年北京冬季奥运会开幕式在国家体育场“鸟巢”隆重举行．开幕式以“构建人类命运共同体”为核心表达，立足于从全世界的角度展望美好未来．共有91个国家和地区的代表团参加本届冬奥会，下列图形是个别代表团国旗，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．格鲁吉亚 B．巴西C．阿尔巴尼亚 D．特立尼达和多巴哥3．“哪有什么岁月静好，不过是有人替你负重前行．”自壬寅除夕以来，新冠疫情反复肆虐着深圳，一批批“逆行者”化身为天使白、守护蓝和志愿红，冲锋在防疫第一线，为2000万深圳人民筑起了“生命的安全线”，其中“2000万”用科学记数法表示为（）A．2×107 B．2×108 C．0.2×108 D．20×1064．下列运算中，正确的是（）A．2a+a2＝2a3 B．a6÷a2＝a3C．（3a2）2＝3a4 D．m3 （﹣m）2＝m55．在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、黄球2个和白球1个，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（）A． B． C． D．6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为（）A．70° B．65° C．55° D．35°7．下列说法中，正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞bB．位似图形一定相似C．对于y＝﹣，y随x的增大而增大D．三角形的一个外角等于两个内角之和8．《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（）A．6x﹣6＝7x+7 B．6x+6＝7x﹣7C． D．9．如图，⊙O，⊙O1都经过A、B两点，且点O在⊙O1上，连接AO并延长，交⊙O于点C，连接BC交⊙O1于点D，连接AD，AD⊥BO，若AB＝3，则的长为（）A． B．π C．π D．π10．已知（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2）是抛物线y＝x2﹣2tx﹣1上两点，以下四个命题：①若y的最小值为﹣1，则t＝0；②点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t）；③当t≤1时，若x1+x2＞2，则y1＜y2；④对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2x＝1﹣m总有实数解，则m≥﹣1，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）11．因式分解：a3﹣4a＝．12．已知x＝﹣1是方程x2+2x﹣m＝0的一个根，则m的值为 ．13．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为 米．（结果保留根号）14．定义：max（x，y）＝，例如：max（2，1）＝2，max（a2，a2+1）＝a2+1，当x＞0时，函数y＝max（，x+1）的最小值为 ．15．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．计算：．17．先化简，后求值：，从﹣1，0，1，2选一个合适的值，代入求值．18．睡眠是机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．为了解教育部发布的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》的实施成效，某调查组随机调查了某学校部分初中生的睡眠时间，假设平均每天的睡眠时间为x小时，为了方便统计，当6≤x＜7时记为6小时，当7≤x＜8时记作7小时，以此类推……根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：根据图中信息回答下列问题：（1）本次共调查了 名学生，请将条形统计图补充完整；（2）本次抽查的学生平均每天睡眠时间的众数为 ，中位数为 ；（3）平均每天睡眠时间为7小时所对应的圆心角的度数为 °；（4）根据“通知”要求，初中生睡眠时间要达到9小时．该校有1800名学生，根据抽样调查结果，估计该校有 名学生平均每天睡眠时间低于9小时．19．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为 Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；R … 3 4 5 6 …I2＝ … 2 1.5 1.2 1 …I总＝1+ … 3 m 2.2 n …②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而 ；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向 平移 个单位而得到．20．2022年3月12日是第44个植树节，某街道办现计划采购樟树苗和柳树苗共600棵，已知一棵柳树苗比一棵樟树苗贵4元，用2400元所购买的樟树苗与用3200所购买的柳树苗数量相同．（1）请问一棵樟树苗的价格是多少元？（2）若购买樟树苗的数量不超过柳树苗的2倍，怎样采购所花费用最少？最少多少元？21．在四边形ABCD中，∠EAF＝∠BAD（E、F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；（2）如图②，若四边形ABCD是菱形．①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；②若AB＝8，AC＝4，连接MN，当MN＝MA时，求CE的长．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BD，若∠ABD＝∠ACB，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案一.选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）1．﹣的倒数是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣【分析】依据倒数的定义解答即可．解：﹣的倒数是﹣3．故选：B．2．2月4日，正值立春，2022年北京冬季奥运会开幕式在国家体育场“鸟巢”隆重举行．开幕式以“构建人类命运共同体”为核心表达，立足于从全世界的角度展望美好未来．共有91个国家和地区的代表团参加本届冬奥会，下列图形是个别代表团国旗，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．格鲁吉亚 B．巴西C．阿尔巴尼亚 D．特立尼达和多巴哥【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．3．“哪有什么岁月静好，不过是有人替你负重前行．”自壬寅除夕以来，新冠疫情反复肆虐着深圳，一批批“逆行者”化身为天使白、守护蓝和志愿红，冲锋在防疫第一线，为2000万深圳人民筑起了“生命的安全线”，其中“2000万”用科学记数法表示为（）A．2×107 B．2×108 C．0.2×108 D．20×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．解：2000万＝20000000＝2×107．故选：A．4．下列运算中，正确的是（）A．2a+a2＝2a3 B．a6÷a2＝a3C．（3a2）2＝3a4 D．m3 （﹣m）2＝m5【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．解：A、2a与a2不是同类项，不能合并，不符合题意；B、原式＝a4，不符合题意；C、原式＝9a4，不符合题意；D、原式＝m5，符合题意，故选：D．5．在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中红球3个、黄球2个和白球1个，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（）A． B． C． D．【分析】从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是黄球的有2种结果，再根据概率公式求解即可．解：∵从袋中任意摸出一个球，共有6种等可能结果，其中是黄球的有2种结果，∴从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为＝，故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，对角线AC、BD相交于点O，E为BC中点，则∠COE的度数为（）A．70° B．65° C．55° D．35°【分析】由菱形的性质可求解∠COB＝35°，结合直角三角形的性质可求得∠OCB＝55°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得OE＝CE，再利用等腰三角形的性质可求解．解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC＝70°，∴∠BOC＝90°，∠COB＝∠ABC＝35°，∴∠OCB＝90°﹣35°＝55°，∵E为BC的中点，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝55°．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．若a2＞b2，则a＞bB．位似图形一定相似C．对于y＝﹣，y随x的增大而增大D．三角形的一个外角等于两个内角之和【分析】利用位似变换的性质，反比例函数的性质，三角形的外角的性质，有理数的大小比较等知识一一判断即可．解：A、错误，比如a＝﹣4，b＝﹣2时，a2＞b2，但是a＜b，本选项不符合题意；B、正确，本选项符合题意；C、错误，应该是在每个象限，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；D、错误，应该是三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角之和，本选项不符合题意．故选：B．8．《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（）A．6x﹣6＝7x+7 B．6x+6＝7x﹣7C． D．【分析】根据“如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹”列出方程即可．解：设现在有x人，有绢y匹，根据题意得：6x+6＝7x﹣7，故选B．9．如图，⊙O，⊙O1都经过A、B两点，且点O在⊙O1上，连接AO并延长，交⊙O于点C，连接BC交⊙O1于点D，连接AD，AD⊥BO，若AB＝3，则的长为（）A． B．π C．π D．π【分析】根据题意和题目中条件，可以求得∠BO1D的度数和O1B的长，然后根据弧长公式计算即可．解：∵AD是⊙O1的直径，AD⊥BO，∴AD垂直平分BO，∠ABD＝90°，∴AB＝AO，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ADB＝60°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝3，∴BD＝，连接O1B，∵∠BO1D＝2∠BAD＝60°，∴O1B＝BD＝，∴的长为＝π，故选：D．10．已知（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2）是抛物线y＝x2﹣2tx﹣1上两点，以下四个命题：①若y的最小值为﹣1，则t＝0；②点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t）；③当t≤1时，若x1+x2＞2，则y1＜y2；④对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2x＝1﹣m总有实数解，则m≥﹣1，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接根据二次函数的图象及性质逐项判定即可．解：∵y＝x2﹣2tx﹣1＝（x﹣t）2﹣t2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2tx﹣1的对称轴是x＝t，顶点坐标是（t，﹣t2﹣1），①若y的最小值为﹣1，则﹣t2﹣1＝﹣1，∴t＝0，故①正确；②把x＝1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，把x＝2t﹣1代入y＝x2﹣2tx﹣1，得y＝﹣2t，∴A（1，﹣2t）和点B（2t﹣1，﹣2t）均在抛物线上，∵＝t，∴点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t），故②正确；③当t≤1时，若x1+x2＞2，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵x1＜x2，∴x2离对称轴远，∴y1＜y2，故③正确；④∵x2﹣2x＝1﹣m，∴x2﹣2x﹣1+m＝0，∵对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2x＝1﹣m总有实数解，∴△＝4t2﹣4m+4≥0，解得m≤t2+1，故④错误；综上所述，正确的有3个，故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）11．因式分解：a3﹣4a＝a（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．12．已知x＝﹣1是方程x2+2x﹣m＝0的一个根，则m的值为 ﹣1．【分析】根据一元二次方程的解，把x＝﹣1代入方程x2+2x﹣m＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．解：把x＝﹣1代入x2+2x﹣m＝0得12﹣2﹣m＝0，解得m＝﹣1．故答案为﹣1．13．“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳地标性建筑之一，摩天轮采用了世界首创的鱼鳍状异形大立架，有28个进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．小亮在轿厢B处看摩天轮的圆心O处的仰角为30°，看地面A处的俯角为45°（如图所示，OA垂直于地面），若摩天轮的半径为54米，则此时小亮到地面的距离BC为 27米．（结果保留根号）【分析】过点B作BD⊥OA，垂足为D，根据题意可得AD＝BC，然后在Rt△DOB中，利用锐角三角函数的定义求出DO，DB的长，最后在Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出BC的长，即可解答．解：过点B作BD⊥OA，垂足为D，则AD＝BC，在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，OB＝54米，∴OD＝OB＝27（米），DB＝OD＝27（米），在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，∴AD＝DB tan45°＝27（米），∴AD＝BC＝27米，∴小亮到地面的距离BC为27米，故答案为：27．14．定义：max（x，y）＝，例如：max（2，1）＝2，max（a2，a2+1）＝a2+1，当x＞0时，函数y＝max（，x+1）的最小值为 2．【分析】分两种情况：当0＜x≤1时，y＝max（，x+1）＝，当x≥1时，y＝max（，x+1）＝x+1，分别求出最小值即可．解：当0＜x≤1时，y＝max（，x+1）＝，此时x＝1，y取最小值，最小值为1，当x≥1时，y＝max（，x+1）＝x+1，当x＝1时，y取最小值，最小值为2，综上所述，x＞0时，y＝max（，x+1）的最小值为2，故答案为：2．15．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝2+2．【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质可得AD＝DE，设∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠AFB＝∠BFE，∵BE＝BF＝2，∴∠BEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠AFD＝∠BFE＝∠DAF，∴AD＝DE，设∠BEF＝∠AFD＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，设∠BAF＝∠CAF＝y，则∠DAC＝∠DAF﹣∠EAF＝x﹣y，∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF，∴x﹣y＝∠DAC，∠ADO＝∠ADB，∴△ADO∽△BDA，设AD＝DF＝m，∴，∴BD＝BF+DF＝2+m，∴do＝bd＝（2+m），∴，∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，∴m1＝2+2，m2＝2﹣2＜0（舍），经检验m＝2+2是分式方程的解，∴AD＝2+2．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．计算：．【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．解：＝﹣1+（2﹣）+2×+4＝﹣1+2﹣++4＝5．17．先化简，后求值：，从﹣1，0，1，2选一个合适的值，代入求值．【分析】先通分，把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分，再考虑分母不能为0，从中先取合适的数运算即可．解：＝＝，∵x﹣2≠0，x﹣1≠0，x≠0，∴x≠2，x≠1，x≠0，∴当x＝﹣1时，原式＝＝．18．睡眠是机体复原整合和巩固记忆的重要环节，对促进中小学生大脑发育、骨骼生长、视力保护、身心健康和提高学习能力与效率至关重要．为了解教育部发布的《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》的实施成效，某调查组随机调查了某学校部分初中生的睡眠时间，假设平均每天的睡眠时间为x小时，为了方便统计，当6≤x＜7时记为6小时，当7≤x＜8时记作7小时，以此类推……根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：根据图中信息回答下列问题：（1）本次共调查了 50名学生，请将条形统计图补充完整；（2）本次抽查的学生平均每天睡眠时间的众数为 8，中位数为 8；（3）平均每天睡眠时间为7小时所对应的圆心角的度数为 43.2°；（4）根据“通知”要求，初中生睡眠时间要达到9小时．该校有1800名学生，根据抽样调查结果，估计该校有 1008名学生平均每天睡眠时间低于9小时．【分析】（1）根据睡眠时间为10小时的人数可求出总人数，再求出睡眠时间为8小时的人数，根据所求数据即可补全统计图；（2）根据补全的统计图可直接求出众数盒中位数；（3）360°乘以平均每天睡眠时间为7小时所占比例即可；（4）全校总人数乘以平均每天睡眠时间低于9小时的学生所占比例即可．解：（1）本次共调查学生数为4÷8%＝50（名），∴睡眠时间为8小时的人数为50﹣2﹣6﹣4﹣18＝20（名），补全的统计图如下：故答案为：50．（2）根据补全的条形统计图可知，学生平均每天睡眠时间的众数为8小时，中位数为8小时，故答案为：8，8；（3）平均每天睡眠时间为7小时所对应的圆心角的度数为360°×＝43.2°，故答案为：43.2；（4）该校学生平均每天睡眠时间低于9小时的人数为1800×＝1008（名），故答案为：1008．19．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为 6Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝2.5，n＝2；R … 3 4 5 6 …I2＝ … 2 1.5 1.2 1 …I总＝1+ … 3 m 2.2 n …②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而 减小；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向 上平移 1个单位而得到．【分析】（1）根据I1＝，即可求出R1；（2）①当R分别为4和6时，根据公式I总＝1+即可求出m和n的值；②图象见解析；（3）①②根据图象可知．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案为：6；（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，当R＝6时，n＝1+1＝2，故答案为：2.5，2；②图象如下：（3）①根据图象可知，I总随R的增大而减小，故答案为：减小；②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，故答案为：上，1．20．2022年3月12日是第44个植树节，某街道办现计划采购樟树苗和柳树苗共600棵，已知一棵柳树苗比一棵樟树苗贵4元，用2400元所购买的樟树苗与用3200所购买的柳树苗数量相同．（1）请问一棵樟树苗的价格是多少元？（2）若购买樟树苗的数量不超过柳树苗的2倍，怎样采购所花费用最少？最少多少元？【分析】（1）设一棵樟树苗的价格是x元，则一棵柳树苗的价格为（x+4）元，根据两种树苗的数量相同列分式方程，求解即可；（2）设购买m棵樟树苗，则购买了（600﹣m）棵柳树苗，总费用为w元，根据“樟树苗的数量不超过柳树苗的2倍”列不等式，求出m的取值范围，然后再表示w与m的函数关系式，根据增减性求解即可．解：（1）设一棵樟树苗的价格是x元，则一棵柳树苗的价格为（x+4）元，根据题意，得，解得x＝12，经检验，x＝12是原分式方程的根，∴一棵樟树苗的价格是12元．（2）设购买m棵樟树苗，则购买了（600﹣m）棵柳树苗，总费用为w元，根据题意，得m≤2（600﹣m），解得m≤400，w＝12m+16（600﹣m）＝﹣4m+9600，∵﹣4＜0，∴w随着m的增大而减小，∴当m＝400时，w最小，此时购买400棵樟树苗，200棵柳树苗，最小花费w＝﹣4×400+9600＝8000（元）．21．在四边形ABCD中，∠EAF＝∠BAD（E、F分别为边BC、CD上的动点），AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；（2）如图②，若四边形ABCD是菱形．①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；②若AB＝8，AC＝4，连接MN，当MN＝MA时，求CE的长．【分析】（1）可证得∠ACM＝∠ACN，∠CAN＝∠M，从而证明结论；（2）①可证得∠ACM＝∠ACN，∠CAN＝∠M，从而证明结论；②可证得△MAN∽△BAC，从而得出，根据△ACN∽△MCA，可计算得出CN，根据△CEN∽△BEA，可得CE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAF＝，∠BAC＝∠ACD＝45°，∴∠CAN+∠CAM＝45°，180°﹣∠BAC＝180°﹣∠ACD，即：∠ACM＝∠ACN，∵∠BAC是△ACM的外角，∴CAM+∠M＝∠BAC＝45°，∴∠CAN＝∠M，∴△ACN∽△MCA；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵四边形ABCD是理性，∴∠BAD＝∠BCD，∠BAC＝∠ACD，∴180°﹣∠BAC＝180°﹣∠ACD，即：∠ACM＝∠ACN，∵∠MAN＝BAD，∴∠CAN+∠CAM＝，∵∠ACB是△ACM的外角，∴∠CAM+∠M＝∠ACB＝＝，∴∠CAN＝∠M，∴△ACN∽△MCA；②∵MA＝MN，∴∠AMN＝∠ANM，由①知，∠ACB＝∠BAC＝∠MAN，∴△MAN∽△BAC，∴＝＝＝2，由①知，△ACN∽△MCA，∴＝，∴CN＝＝2，CM＝2AC＝8，∵AB∥CD，∴△CEN∽△BEA，∴，∴CE＝＝，22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，BD，若∠ABD＝∠ACB，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD平移m个单位，平移后A、D的对应点分别为M、N，在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，可得抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4），化简可得抛物线解析式；（2）求得点C的坐标为C（0，3），BC＝AB＝5，得到tan∠ABD＝tan∠CAB＝3，设点D的坐标为（x，﹣x2+x+3），列出方程，求出x的值即可得出点D的坐标；（3）先求出直线AD的计算，得到tan∠MAP＝，然后分三种情况求解即可．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3．（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∵B（0，4），∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴BC＝AB＝5，∴∠ACB＝∠CAB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＝∠CAB，∴tan∠ABD＝tan∠CAB＝3．设点D的坐标为（x，﹣x2+x+3），如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则BE＝4﹣x，DE＝﹣x2+x+3，∴tan∠ABD＝＝3，解得x＝3．∴D（3，3）．（3）设直线AD的解析式为：y＝kx+n，把点A，D的坐标代入得，，解得．∴直线AD的解析式为：y＝x+．∵MN＝AD＝5，∴tan∠MAP＝．①如图，若MN＝MP＝5，则∠PMN＝90°，tan∠MAP＝＝．∴AM＝，即m1＝．②如图，若NM＝NP＝5，则∠MNP＝90°，tan∠MAP＝＝．∴AN＝，∴AM＝AN﹣MN＝．即m2＝．③如图，若PM＝NP，则∠NPM＝90°，过点P作PQ⊥AN于点Q，则PQ＝MN＝，tan∠MAP＝＝．∴AQ＝，∴AM＝AQ﹣MQ＝．即m3＝．综上所述，m＝，，时，△PMN是等腰直角三角形．

展开