清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）
1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2
的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．取决于a 的值 【答案】C
【解析】注意
)()(/x g e x f x =，答案C ．
2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）
A ．Z c b a ∈==,2,1
B ．
B b
C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500
=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A
D ．060,1,3===
A b a
【答案】AD ．
3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2
=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线
B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行
C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点
D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点
【答案】BD
【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．
4．过抛物线
x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）
A ．以线段A
B 为直径的圆与直线23
-
=x 一定相离
B ．||AB 的最小值为4
C ．||AB 的最小值为2
D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB
【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为|
|21
|)||(|21AB BF AF =+，于是以线
段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线
23
-
=x 一定相离；对于选项B ，C ，
设)4,4(2
a a A ，则
)1,41(
2a a B -，于是2414||22
++=a a AB ，最小值为4．也可将||AB 转
化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与
||21
BM 不一定相等，因此命题错误．
5．已知21,F F 是椭圆)
0(1:22
22>>=+b a b y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列
说法中正确的有（ ）
A ．b a 2=时，满足0
2190=∠PF F 的点P 有两个
B ．b a 2>时，满足0
2190=∠PF F 的点P 有四个
C ．21F PF ∆的周长小于a 4
D ．21F PF ∆的面积小于等于22
a
【答案】ABCD ．
【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，
21PF F ∆的周长为a c a 422
D ，
21PF F ∆的面积为
2
2
212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅．
6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】BD
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．
7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆
D ．以上三个说法均不对
【答案】AC
【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ．
8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】必要性：由于1
cos sin )2
sin(
sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π
， 类
似
地
，
有
1
sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，
于
是
C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++．
不充分性：当
4,2
π
π
=
==
C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．
9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21
111=
++z y x 的解的组数为（ ）
A ．8
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】B
【解析】由于x z y x 3
11121≤
++=，故63≤≤x ．
若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ；