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第15讲 圆 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）一、单选题1．（2022·无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）fA．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°2．（2022·无锡）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）A．12π B．15π C．20π D．24π3．（2022·苏州）如图，在 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．4．（2022·连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．5．（2022·泗洪模拟）若一个圆锥的侧面展开图是半径为、圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm6．（2022·泗洪模拟）已知的内心为P，则下列说法错误的是（）A．B．P在的内部C．P为三个内角平分线的交点D．P到三边距离相等7．（2022·惠山模拟）下列命题中，是真命题的是 （）A．长度相等的弧是等弧 B．如果|a|=1，那么a=1C．两直线平行，同位角相等 D．如果x＞y ，那么－2x＞－2y8．（2022·惠山模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（）A．1 B．2﹣1 C． D．﹣19．（2022·锡山模拟）若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．2cm2 B．24cm2 C． D．10．（2022·江苏模拟）如图，点A的坐标是（ 2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（）.A． B． C． D．11．（2021·常州模拟）如图，△ABC内接于⊙O，弦AB＝6，sinC＝，则⊙O的半径为（）A．5 B．10 C． D．二、填空题12．（2022·徐州）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB= ．13．（2022·盐城）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ．14．（2022·盐城）如图，、是的弦，过点A的切线交的延长线于点，若，则 °．15．（2022·常州）如图，是的内接三角形.若，，则的半径是 .16．（2022·泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为 °.17．（2022·苏州）如图，AB是 的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若 ，则 °18．（2022·连云港）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连接 ，与 交于点 ，连接 .若 ，则 .19．（2022九下·沭阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M.若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 20．（2022·泗洪模拟）如图，大圆的弦AB切小圆于点C，且大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm，则弦AB的长为 cm.三、综合题21．（2022·徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．22．（2022·镇江）操作探究题（1）已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．（2）如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．23．（2022·南通）如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接．（1）求直径的长；（2）若，计算图中阴影部分的面积．24．（2022·无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.（1）求证 ；（2）当 时，求CE的长.25．（2022·泗洪模拟）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形.（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形（2）如图1，在等腰中，，，经过点的交边于点，交于点，连接，若四边形为圆美四边形，求的长；（3）如图2，是外接圆的直径，交于点，点在上，延长交于点，已知.问四边形是圆美四边形吗？为什么？26．（2022·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点.（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，在Rt△CDE中， ，所以.所以∠=∠.因为∠∠ =∠ =90°，所以∠ +∠ =90°，所以∠ =90°，即⊥.（2）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明：（3）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P.使=·，写出作法，不用证明.27．（2022·连云港）如图【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中 ， ， .【问题探究】小昕同学将三角板 绕点 按顺时针方向旋转.（1）如图2，当点 落在边 上时，延长 交 于点 ，求 的长.（2）若点 、 、 在同一条直线上，求点 到直线 的距离.（3）连接 ，取 的中点 ，三角板 由初始位置（图1），旋转到点 、 、 首次在同一条直线上（如图3），求点 所经过的路径长.（4）如图4， 为 的中点，则在旋转过程中，点 到直线 的距离的最大值是 .答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；如图：过点D作DF⊥AB于点F∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF故答案为：C.【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB= =5，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= ×2π×4×5=20π.故答案为：C.【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据S圆锥的侧面积=×2π·BC·AB进行计算.3．【答案】A【解析】【解答】解：由图可知，总面积为：5×6=30， ，∴阴影部分面积为： ，∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 .故答案为：A.【分析】首先求出长方形网格的面积，利用勾股定理求出OB，结合扇形的面积公式求出阴影部分的面积，然后用扇形的面积除以整个矩形的面积进行计算.4．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，由题意得A、B分别为圆的十二等分点，∴∠AOB=×360°=60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝2，∴S阴影=S扇OAB-S△AOB=-×2×=-.故答案为：B.【分析】如图所示，连接OA、OB，再过点O作OC⊥AB，由题意得A、B分别为圆的十二等分点，可求得∠AOB=60°，从而推出△AOB为等边三角形，即得AB＝OA＝OB＝2，再分别计算出扇形OAB和三角形AOB的面积，最后由S阴影=S扇OAB-S△AOB代入数据计算即可求解.5．【答案】A【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得，解得r=6，所以这个圆锥的底面半径长为6cm.故答案为：A.【分析】设这个圆锥的底面半径为rcm，根据圆锥底面圆的周长为侧面展开扇形的弧长，结合圆的周长公式以及弧长公式进行计算即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意；B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以P在△ABC的内部，故不符合题意；C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意；D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意.故答案为：A.【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断.7．【答案】C【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故A选项是假命题；如果|a|=1，那么，故B选项是假命题；根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故C选项是真命题；如果x＞y，那么－2x＜－2y，故D选项是假命题.故答案为：C.【分析】在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，依此判断A；绝对值就是数轴上的点所表示的数，离开原点的距离，据此判断B；根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，判断C；不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，据此判断D.8．【答案】D【解析】【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1 是AP1的中点，当点P在线段AB上时， C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，（CA： PA=1 ： 2 ，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆) ， 当O、C、D共线时， OC的长最小，设线段AB交B于Q，中，OA=3，OB=3，.半径为2，是的中点，是的中点，即半径为1，故答案为：D.【分析】当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1 是AP1的中点，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB上时， C2是中点，取C1C2的中点为D，确定出点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时， OC的长最小，先求⊙D的半径，说明D是AB的中点，设线段AB交B于Q，根据直角三角形斜边中线是斜边中线的性质求出OD长，则可求出OC的最小值.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径为3cm，母线长为4cm，∴圆锥的侧面积为.故答案为：C.【分析】利用圆锥的侧面积等于Rr（R是展开扇形的半径，r是底面圆的半径），代入计算可求解.10．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆.∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3，0)，∴OP⊥PD，∴∠OPD=90°，在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3，由勾股定理得：PD= =由等积法，可得：OD PE=OP PD，即：3×PE=2× ，解得：PE=在Rt△OPE中，OE= =∴点P的坐标为( ， )把点P的坐标代入y=kx－3k，得： ，解得：k= .故答案为：C.【分析】连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，由题意可得：点P的运动轨迹是以O为圆心，AO为半径的圆，直线y=kx-3k（k＞0）过定点D(3，0)，利用勾股定理可得PD，根据△OPD的面积公式可得PE，然后利用勾股定理求出OE，进而可得点P的坐标，接下来将点P的坐标代入y=kx-3k中进行计算就可得到k的值.11．【答案】A【解析】【解答】解：过B作直径BD，连接AD，∵BD为直径，∴∠BAD＝90°，∵∠D＝∠C，∴sinD＝sinC＝，∵AB＝6，∴BD＝10，∴⊙O的半径为5.故答案为：A.【分析】过B作直径BD，连接AD，根据圆周角定理可得∠BAD＝90°，∠D＝∠C，然后根据正弦函数的概念可得BD的值，进而可得半径.12．【答案】72°【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠AOB，∠ACB=36°，∴∠AOB=2×∠ACB=72°．故答案为：72°．【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOB=2∠ACB，据此计算.13．【答案】【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，由旋转可知，∵，∴∴线段AB扫过的面积故答案为：【分析】根据已知条件可得BC=1，根据矩形的性质可得AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，由旋转的性质可得AB=AB′=2，求出cos∠DAB′的值，得到∠DAB′、∠BAB′的度数，然后结合扇形的面积公式进行计算.14．【答案】35【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交于点E，连接BE．为的直径，，，为的切线，，，，．故答案为：35.【分析】连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，根据圆周角定理可得∠C=∠E，∠ABE=90°，根据切线的性质可得∠DAE=90°，由同角的余角相等可得∠E=∠BAD=35°，据此解答.15．【答案】1【解析】【解答】解：连接OA、OC，，，，即，解得：，故答案为：1.【分析】连接OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC=90°，然后利用勾股定理进行计算即可.16．【答案】32【解析】【解答】解：连接OA，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°，∴∠O=90°-∠P，∵∠P=26°，∴∠O=64°，∴∠C=∠O=32°.故答案为：32.【分析】连接OA，根据切线的性质可得∠PAO=90°，则根据三角形的内角和求出∠O的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠C的度数.17．【答案】62【解析】【解答】解：连接 BD ，∵AB是 的直径，∴ ，，，故答案为：62.【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BAC=∠BDC=28°，然后根据∠ADC=∠ADB-∠BDC进行计算.18．【答案】49【解析】【解答】解：∵AB是直径，AC是切线，∴∠A=90°，∵∠AOD=82°，∴∠B=41°，∴∠C=90°-41°=49°.故答案为：49.【分析】根据切线的性质得出∠A=90°，根据圆周角定理得出∠B=∠AOD=41°，即可得出∠C=90°-41°=49°.19．【答案】100【解析】【解答】解：设P（x，y），∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x 1）2＋y2，∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，∵OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，如图，∴OP的最大值为OP'＝OM＋PM＝＋2＝7，∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100.故答案为：100.【分析】设P（x，y），根据两点间距离公式表示出PA2、PB2，结合OP2＝x2＋y2可得PA2＋PB2＝2OP2＋2，当点P处于OM与圆的交点P'处时，OP取得最大值，最大值为OP'＝OM＋PM，据此计算.20．【答案】8【解析】【解答】解：连接OA，OC，∵AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC＝BCAB，在Rt△AOC中，OA＝5cm，OC＝3cm，根据勾股定理得：AC4cm，则AB＝2AC＝8cm.故答案为：8.【分析】连接OA，OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AC＝BC=AB，利用勾股定理求出AC，进而可得AB.21．【答案】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：如图，连接OA，∵，∴∠D=∠DBC，∵AB=AD，∴∠D=∠ABD，∵，∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∴∠BAD=120°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，∴∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∵OA是圆的半径，∴直线AD与园O相切，（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，∵OB=OC=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴，∴，∴，∴扇形BOC的面积为，∵，∴阴影部分的面积为．【解析】【分析】（1）连接OA，根据平行线的性质得∠D=∠DBC，根据等腰三角形的性质得∠D=∠ABD，则∠DBC=∠ABD=∠D=30°，∠BAO=∠ABD=30°，推出∠OAD=90°，据此证明；（2）连接OC，作OH⊥BC于H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得∠OCB=∠OBC=30°，则∠BOC=120°，OH=OB=3，利用勾股定理可得BH，由垂径定理可得BC=2BH，然后根据S阴影=S扇形BOC-S△BOC进行计算.22．【答案】（1）解：操作：交流： ，或 ；探究：设 ，解得 （ 为非负整数）．或设 ，解得 （ 为正整数）．所以对于正整数 （ 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三等分；（2）解：如图【解析】【分析】（1）操作：分别构造60°弧、15°弧、12°弧、6°弧即可解决问题；交流：当n=28时，三者之间的数量关系为；探究：设 或设，用含k的式子表示出n即可；（2）以P为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点D，以Q为圆心，QP为半径画弧，与圆交于一点C，则弧即为所作.23．【答案】（1）解：解：（1）∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC=45°，∴，∴BC=DC=，∴.答：直径BD的长为4.（2）解：∵在圆O中，，∴弓形BC的面积等于弓形DC的面积，∴阴影部分的面积等于△DCE的面积∵，∴S阴影部分=S△DCE=.答：阴影部分的面积为6.【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠BCD＝∠DCE＝90°，利用角平分线的定义可证得∠BAC＝∠DAC=45°，利用圆周角定理可推出BC=DC；再利用解直角三角形求出BD的长.（2）利用在圆O中，，可证得阴影部分的面积等于△DCE的面积；再求出CE的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积.24．【答案】（1）证明：∵ 所对的圆周角是 ，∴ ，又 ，∴（2）解：∵△ 是等边三角形，∴∵ ，∴∴∵∴ ，∴∴连接 如图，∵∴∴∠又∠ ，∴△∴ ，∴∴ ，∴ （负值舍去）∴ ，解得，【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠A=∠E，由对顶角的性质可得∠BDA=∠CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；（2）根据等边三角形的性质得AC=AB=BC=6，结合已知条件可得AC=3AD，则AD=2，DC=4，然后根据相似三角形的性质可得BD·DE=8，连接AE，由圆周角定理可得∠BAC=∠BEA，证明△ABD∽△EBA，根据相似三角形的性质可得BD、CE的值.25．【答案】（1）D（2）解：连接AE，BD，∵等腰中，，∴BD是⊙O的直径，∠BED=∠BAD =90°，∵AC=AB=1，∴，，∵四边形为圆美四边形，∴BD⊥AE，∴，∴AD=ED，∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴BE=AB=1，∴CE=BC-BE= ，∵∠CED=180°-∠BED=90°，∴，∴；（3）解：四边形是圆美四边形，理由：连接BD，AF，设AF与BC交点为G，则∠ACB=∠ADB，∠CAF=∠CBF，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠BAD+∠ADB=90°，∵，∴，∵∠APB=∠BPE，∴△APB∽△BPE，∴∠BAD=∠CBF，∴∠CAF=∠BAD，∴∠ACB+∠CAF=∠ADB+∠BAD=90°，∴∠AGC=180-（∠ACB+∠CAF）=90°，∴AF⊥BC，∴四边形是圆美四边形.【解析】【解答】解：（1）∵圆美四边形满足对角互补，对角线互相垂直两个条件，∴正方形是圆美四边形，故答案为：D；【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可排除A、C，根据对角线互相垂直排除B，从而即可得出答案；（2） 连接AE，BD，先判断出∠BED=∠BAD =90°， 根据等腰直角三角形的性质求出BC=，∠C=45°，由圆美四边形可得BD⊥AE， 由垂径定理及弧、弦、圆心角的关系可得AD=ED，证明Rt△ABD≌Rt△EBD，可得BE=AB=1，从而求出CE=BC-BE= ， 再根据等腰直角三角形，可得DE的长；（3）四边形ABFC是圆美四边形，理由：连接BD，AF，设AF与BC交点为G，证明△APB∽△BPE，可得∠BAD=∠CBF，从而求出∠AGC=90°，根据圆美四边形的定义即证.26．【答案】（1）tan∠DCE=（2）解：如图中，点P即为所求，作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，∴.（3）解：如图中，点P即为所求，作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。【解析】【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，，所以.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP ∠DCE =∠ACB =90°，所以∠ACP +∠BAC =90°，所以∠APC =90°，即AB⊥CD.故答案为：；【分析】（1）在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE，利用三角函数的概念求出tan∠BAC、tan∠DCE的值，得到∠BAC=∠DCE，结合∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°可得∠ACP +∠BAC=90°，利用内角和定理可得∠APC =90°，据此解答；（2）取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求，由作图可知：OM⊥AP，OM是半径，则；（3）取各店J、K，连接JK交AB于点P，由圆周角定理可得∠APM=∠ABM，又∠MAP=∠MAB，则△MAP∽△MAB，则AM2=AP·AB.27．【答案】（1）解：由题意得，，∵在中，，，，∴.（2）解：①当点E在BC上方时，如图一，过点D作DH⊥BC于点H，在中，，，，∴，∴，在中，，，，，∴，∵点C、E、D在同一直线上，且，∴，在中，，，，∴，∴，∵，∴；②当点E在BC下方时，如图二，过点D作DM⊥BC于点M，∵，，，∴，∴，∵，∴，综上，点D到直线BC的距离为+1或-1.（3）解：如图三，取的中点，连接，则，∴点G在以O为圆心，为半径的圆上，当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，∴点G所经过的路径长=.（4）【解析】【解答】解：（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，∵点O为BC中点，BC=3，∴OB=BC=，在Rt△OKB中，∠KBO=30°，∴OK=×=，由（3）可知：点G在以O为圆心，为半径的圆上，∴点G到直线AB的距离最大值=+=.故答案为：.【分析】（1）在中，有，，根据30°角的余弦即可求得BF的长；（2）分两种情况：①当点E在BC上方，如图一过点D作DH⊥BC于点H，解直角三角形得BC=3，，由勾股定理求得CE=3，从而得CD=3+，再由三角形BCD的面积得，代入数据计算即可；②当点E在BC下方时，如图二，过点D作DM⊥BC于点M，由勾股定理求得CE=3，则CD=3-，同理由三角形BCD的面积得，代入数据计算即可；（3）如图三，取的中点，连接，则，则点G在以O为圆心，为半径的圆上，当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，最后由弧长计算公式代入数据即可求解；（4）如图四，过点O作OK⊥AB于K，由点O为BC中点，BC=3，求得OB=BC=，解直角三角形可求得OK=，由（3）可知：点G在以O为圆心，为半径的圆上，即得点G到直线AB的距离最大值

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