1、2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照 本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6 分；不选、选错或选出的代表字母超过

2、一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。1使关于 x 的不等式x36xk 有解的实数k 的最大值是（ ）A6 3 B3C 63D 62空间四点 A、 B、C、D 满足 | AB |3,| BC |7,|CD| 11,| DA | 9, 则 AC BD 的取值A）只有一个 B有二个C有四个D有无穷多个a1a2a3a4234 |ai T,i77273746. 记集合 T 0,1,2,3,4,5,6, M1,2,3,4, 将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第A7727374B1104C234D7727374二、填空题(本题满分54 分，2020 个数是(71)5721726730737每小

3、题 9 分) 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。2743747. 将关于 x的多项式 f(x)1 x x2 x319 20xx表为关于 y 的多项式 g(y)2a0 a1 y a2 y19a19y20a20 y , 其中 y4.则a0a1a20围是8. 已知 f (x) 是定义在 (0,) 上的减函数， 若 f (2a2 a1) f (3a2 4a 1) 成立，则 a的取值范从小到大排成一列12. 如果自然数 a的各位数字之和等于7，那么称 a为“吉祥数” . 将所有“吉祥数”a1,a2,a3, ,若 an 2005,则a5n三、解答题(本题满分 60 分，每小题 20 分)13.

4、 数列 an 满足： a0 1,an 17an45an 36,n N.证明：( 1)对任意 n N, an为正整数； (2) 对任意 n N,anan 1 1为完全平方数。14. 将编号为 1,2 ， 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球 . 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S达到最小值的放法的概率 . (注：如果某 种放 法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15.过抛物线 y x2上的一点 A( 1,1 )作抛物线的切线，分别交 x轴于 D，交 y轴于 B.点 C在抛物线上，点 E在线段 AC上，满足AE1;点

5、 F在线段 BC上，满足BF2，且121，线段CD与 EFEC1FC212交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程 .2020 年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案设正数 a、b、c、x、 y、z 满足 cy bza,az cxb;bx ayc.求函数 f (x,y,z)2x1x2y1y2z1z的最小值 .、（本题满分 50 分）0当 n为平方数当 n不为平方数 n2020年全国高中数学联赛解答三、（本题满分 50 分）对每个正整数 n，定义函数 f （n）240其中 x表示不超过 x的最大整数， x x x）. 试求：f （k）的值.k1、选择题（本题满分 36 分，每小

6、题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在 括号内），一律得 0 分。1使关于 x 的不等式x 36x k 有解的实数k 的最大值是（）A 6 3B 3C 6 3D 62空间四点 A、B、C、 D满足 | AB | 3,| BC |7,|CD |11,| DA | 9, 则 AC BD 的取值）A只有一个B【答案】 A有二个C 有四个D 有无穷多个【解析】注意到 32112 113072 92, 由于 ABBC CD22DA 0,

7、则DA 2 DA =(AB BC CD)2 AB2 BC2 CD 2 2(AB BC BC CD CD AB) AB22 2 2 2 2 2 BC2 CD 2 2(BC AB BC BC CD CD AB) AB2 BC2 CD2 2(ABBC) (BC CD),即2AC BD AD2 BC2 AB2 CD2 0, AC BD只有一个值得 0，故选A。3 ABC 内接于单位圆，三个内角A、 B、的平分线延长后分别交此圆于A1、 B1 、 C1 。则ABCAA1 cosBB1 cosCC1 cos121212sinA sinB sinCA2B 4C6【答 案】 A的值为（8A解析】如图，连 BA

8、1，则 AA1 2sin（ B ）2sin( A B2 C B2 C2)B2cos(AB CAAA1 cos2cos( )cos1 22 22B sinC sin B,同理BB1 cos 12cosCC1 cos2(sin A sinB sin C ), 原式2.选 A.2 1 2 sin A sinB sinCA B C A C B cos cos cos( C) cos( B) 2 2 2 2 CA sin A sin C, CC1 cossin A sinB, AA1 cosBB11 2 1 2 1B C 2(sin A sinB sinC)5. 方程2x2y1 表示的曲线是（）sin

9、2sin 3 cos2 cos 3A焦点在x 轴上的椭圆B焦点在x 轴上的双曲线C焦点在y 轴上的椭圆D焦点在y 轴上的双曲线答案】 C【解析】 2 3 ,023cos(2) cos( 3 ), 即22222sin 2 sin 3.又 0 2 , 3, cos 20,cos 30,cos 2cos 3 0, 方程表示的曲线是椭圆。(sin 2 sin 3) (cos 2 cos 3)2 2sin 2 3sin( 2 32 2 4()2 3 2 30, sin 0,2 2 2 223sin( ) 0, ( )式 0.2 3 3243 2 34 2 4即 sin 2 sin 3 cos 2 cos

10、 3.曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，选 C。二、填空题(本题满分 54分，每小题 9 分) 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。7. 将关于 x的多项式 f(x) 1 x x2 x3x19 x20表为关于 y 的多项式 g(y)2 19 20a0 a1 y a2 ya19 ya20 y , 其中 y x 4. 则 a0 a1a20.答案】52116解析】由题设知， f ( x)和式中的各项构成首项为 1，公比为 x 的等比数列，由等比数列的求和公倉 o酉 o酉 oT寸CNpcxl0畳， ，怒.6(工俎媒曲 &厶.o'V 歳飞 XI+WI 飞；-口丁d':®®Tn-+.0)ki2J:' nmAHP 寸 JD:fipw-AP9mZJal3 000"一+器冷0人2+二5+七owAJ:'DaKL L5:二诫甘勺2【谍帥】. 喇a sanas戏画 $(1+灯斤|飞巴、¥G4-q+Frl)rH4WK£T?(+.

12、0)5aciF ( x令1 (X)睡碱10.如图，四面体 DABC的体积为 1 ，且满足6ACB 45 ,ADBCACAC 3, 则CD2答案】3解析】1AD3(1 BC AC sin452) V1) VDABCDABC6即AD BC 21.3 AD BCAC23AD BC AC 3,等号当且仅当 ADACBC 2 1 时成立，这时 AB 1,AD面 ABC，DC 311. 若正方形 ABCD的一条边在直线 y 2x17上，另外两个顶点在抛物线2y x2 上.则

13、该正方形面积的最小值为【答案】 80解析】设正方形的边 AB 在直线 y 2x17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为C(x1,y1) 、D(x2,y2) ， 则 CD 所在 直 线 l的 方 程 y2x b, 将 直 线 l 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 ， 得x2 2x b x1,2 1 b1.令正方形边长为 a,则 a2(x1x2)2(y1y2)2 5(x1 x2)2 20(b 1). 在 y 2x 17 上任取一点它到直线 y 2x b 的距离为 a, a |17 b| .5、联立解得 b1 3,b263.2a2280, 或 a2 1280. am2in 80.三、解答题（

14、本题满分 60 分，每小题 20 分）13. 数列 an 满足： a0 1,an 1解析】证明：（1）对任意 n N ,an为正整数； （2） 对任意 n N,anan 1 1为完全平方数。证明：(1)由题设得 a1 5,且an 严格单调递增 .将条件式变形得 2an 1 7an45an2 36,两边平方整理得 an2 1 7anan 1 an2 9 0 22an 7an 1an an 1 9 0 -得 (an 1an1)(an 1an 17an)0,Qan 1an,an 1an 17an0an 17an ab 1. 由式及 a0 1,a1 5 可知，对任意 n N , an为正整数 .14.

15、 将编号为 1,2 ， 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率 . （注：如果某种放 法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上 的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有8! 种. 5分2下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设x1,x2 ,xk 是依次排列于这段弧上的小球号码，则|1x1 |

16、 x1 x2 |xk 9| |(1x1) (x1 x2 )(xk 9)| |1 9| 8. 上式取等号当且仅当1 x1x2xk9 ，即每一弧段上的小球编号都是由1到 9递增排列 .因此 S最小2 8 16 .由上知，当每个弧段上的球号 1,x1,x2, xk,9 确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定在 1,2 ， 9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3 ， 8 ，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有 C70 C71 C72 C73626 种情况， 每种情况对应着圆周上使S 值达到最小的唯一排法， 即有利事件总数是 26 种，故所求概率 P2 6 18! 315215.

17、过抛物线 y x2 上的一点A（1,1 ）作抛物线的切线，分别交x 轴于 D，交 y 轴于 B. 点 C 在抛物线BF1;点 F在线段 BC上，满足 BF1 FC2 ，且 1 2 1 ，线段 CD与 EFAE上，点 E 在线段 AC上，满足 AEEC交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P的轨迹方程 .x3)x1y121x0x2所求轨迹方程为3AB的方程为令11S2S2SCABCADCBDSCE132323. 因为P是解二：由解一知也在 P点轨迹上 .因 C与 A不能重合CD为 ABC 的中线，1,B(0y 2x1,t21),D( ,0),故 D是 AB的中点2S CEP2S CADy

18、 3(3xCEFS CAB1)2(xt21)2,则 t1 t2CF CA CBCCDP,t1CACECBCF12114231 2,CD 方程为：x 1 ，联立解得42t1 t22t1t232t1t2而t1t21 3 1 当x0 21时，EF方程为： 32 y (14 2S CFP1( 12S CBD2 t1ABC 的重心 .设 P（ x, y）, C（ x0 , x02 ）,因点 C异于 A，则 x0 1,故重心 P的坐标为0 1 x0 x31 x03,(x223),y1 1 x023x2 1 20 , 消去 x0, 得 y(3x 1)2.33故所求轨迹方程为y13(3x2）.32020 年全

19、国高中数学联赛试题（二）及参考答案1)2(x、（本题满分 50 分）如图，在 ABC中，设 AB>AC，过 A作 ABC的外接圆的切线 l ，又以 A 为圆心， AC为半径作圆分别交线段 AB于 D；交直线 l 于 E、 F。 证明：直线 DE、DF 分别通过 ABC的内心与一个旁心。2）再证 DF过 ABC的一个旁心 . 连 FD 并延长交 ABC的外角平分线于 IBI 1=90°=EDI1，D、B、l 1、 BI l 1 = BDI1=90° ADI1I1，连 II 1、B II 四点共圆，1、1、B I ，由（ 1）知， I 为内心，11=( BAC+ ADG)

20、 ADI= BAC+ IDG， A、 I 、I 1共线 .22I 1 是 ABC的 BC边外的旁心、（本题满分 50 分）设正数 a、b、c、x、 y、z 满足 cy bz a,az cx b;bx ay c.2y1y2z 的最小值 .1zx2求函数 f (x,y,z)1xcos2 Acos2 BcosB求函数 f (cos A 、 cosB 、 cosC )=1 cosA 1cos2 C1的最小值 . cosC令 u cot A,vcot B,w cot C,则u,v,wR ,uvvwwu 1,且 u2 1 (uv)(u w),v1 (u v)(vw),w2(u w)(v w).2cos A

21、1cosA2uu 2 1uu2 1u22u1( u2 1 u)u2 ( u2 1 u)同理，cos2cosBv3v2(u v)(u w)u3 ( 11w),w+ (v2 vw w2)(u21 ),uwcos2 C1 cosCw32 (u1 ). vw12(3 uuvuw w2)vw1(uv23ww )wvw uw)21(u2 uv v2 )取等 号当且 仅当 u v w ，此时，a b c,x y1z 2), f(x, y,z)min1.2.三、(本题满分50 分)0当 n为平方数 ,对每个正整数n，定义函数 f (n)1当n不为平方数 n240其中 x 表示不超过 x 的最大整数， x x

22、x). 试求： f (k) 的值 . k1则 f (a)i1T( j) nT(1) T(2) (n 1)T(3) T(4) i 1 j 1T(2n 1) T(2n)25615由此， f (k) (16 k)T(2k 1) T(k) k 1k 1记ak T(2k 1) T(2k),k 1,2, ,15,易得 ak的取值情况如下：k123456789101112131415ak35667869888107101016n15因此， f (k) (16 k)ak 783 k 1k 12020 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨