2010年全国初中数学联合竞赛试题
亲爱的同学们，你们好!
又是一年的全国数学联赛题，请同学们放松心态，以你们最佳状态参加考试，相信你们是最棒的！
好了，下面让我们一起遨游在数学的世界中吧！.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若均为整数且满足，则 （ ）
A．1. B．2. C．3. D．4..
2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为 （ ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若是两个正数，且 则 （ ）
4．若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则 ( )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则 （ ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足方程组则 .
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则 ．
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.
（1）如果都是整数，且，求的值.
（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．
2010年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1. 若均为整数且满足，则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
解： 由已知可推得 或 ，分别代入即得。
2．若实数满足等式，，则可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
解：由已知，，∴.
3．若是两个正数，且 则 （ C ）
A．. B．. C．. D．.
解：当时，可计算得，从而。观察4个选项，只能选C.
4．若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
解：由已知：一定能被整除。
∵
∴，故
5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
解：如图，由已知，ADE是正三角形。作BF∥DE交
AC于F，则BD＝EF，从而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，
又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB.故.
∵∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴，故
由，得：.
6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
解：将0，1，2，…，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、
（2，997）、…、（499，500）.注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9＋9＝27，故0，1，2，…，999这1000个自然数各位数字之和等于.
于是，1000，1001，1002，…，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000
＝14500.
从而.
显然：，故：.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．已知实数满足方程组则 13 。
解：
2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．
解：如图，由已知可推得：
，设，则，
由.
3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝．
解：见上图。
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 15 个球.
解：先画一个“初始图”： ○ A B C D E ○ A B C D E ○
按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到：
○ ○ ○ ○ D ○ ○ ○ ○ ○ D ○
显然，D应为黑色。即：
○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○
再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：
○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.
又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.
（1）如果都是整数，且，求的值.
（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积.
解 点P、Q在二次函数的图象上，故，，
解得，.
（1）由知解得.
又为整数，所以，，.
(2) 设是方程的两个整数根，且.
由根与系数的关系可得，，消去，得，
两边同时乘以9，得，分解因式，得.
所以或或或
解得或或或
又是整数，所以后面三组解舍去，故.
因此，，，二次函数的解析式为.
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为.
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设，由已知等式可得
①
令，则，其中均为自然数.
于是，等式①变为，即
②
由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和
（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数．若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值．
解 由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得，从而有
①
（1）若，则方程为，它有两个整数根和．
（2）若，则.
因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.
又因为为质数，由①式知或．
不妨设，则可设（其中m为非零整数），则由①式可得，
故，即．
又，所以，即
②
如果m为正整数，则，，从而，与②式矛盾.
如果m为负整数，则，，从而，与②式矛盾.
因此，时，方程不可能有整数根．
综上所述，．