\(设f(x)为[a,b]上\)有界函数\(在[a,b]上任意插入n-1个分点，a=x_00)\)3.\(\int \frac {{\rm d}x}{(x^2+a^2)^2}(a>0)\)4.教科书P204 例5.4.10主要学习此法中分别令\(x=sec t\)和\(x=-sec t\)，都有\(t \in (0,\frac{\pi}{2})\)，可以减少不必要的化简麻烦若直接令\(t \in (0,\frac{\pi}{2}) 和 (\frac{\pi}{2},\pi)\)，开根号时会多出一个符号，这个符号的消去是在t转化回x的时候5.教科书P219 T1（5）（6）（8）某些复合函数，可以通过换元法转化为一般分部积分的形式

\(设函数f(x)在[a,b]上连续，g(t)为单值函数，且满足\)\(（1）g(\alpha)=a，g(\beta)=b，当t \in [\alpha,\beta]时，g(t) \in [a,b]\)\(（2）g(t)有连续导数\)\(令x=g(t)，则有\int_a^b f(x){\rm d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t){\rm d}t\)

PS：（1）连续可弱化为可积（2）替换后上下限对应（3）不定积分第二类换元法要求g(t)单调可导的原因：其实每个x都有对应的t存在即可，但一个x对应多个t表达式需任选一个造成麻烦，为了方便使x一一对应t，即存在反函数，即要求单调。而定积分不做要求，因为定积分不需代回x，g(t)重复对应x无影响。另一方面，不定积分和定积分本质很不一样，前者是对应点，后者对应区间，后者g(t)重复对应x不会造成重复计算是因为g'(t)的修正，重复部分恰好抵消了。

1.教科书P205 例5.4.12\((1-x)^{100}\)转化为\(t^{100}\)扩展性更好***2.\(\int_0^1 \frac{ln(1+x)}{1+x^2}\)令\(x=tan t，0 \leq t \leq \frac {\pi}{4}\)；\(\int_0^{\frac {\pi}{4}}ln(1+tan t)=\int_0^{\frac {\pi}{4}}ln(1+tan (\frac {\pi}{4}-t))\)；***3.教科书P206 例5.4.15

\(设f(x)为连续函数\)\(如果f(x)为奇函数，则\int_0^x f(t){\rm d}t为偶函数\)\(如果f(x)为偶函数，则\int_0^x f(t){\rm d}t为奇函数\)2.\(设f(x)在[-a,a](a>0)上为连续函数，则\)\(\int_{-a}^af(x){\rm d}x = \begin{cases}0 & f(x)为奇函数\\\int_0^af(x){\rm d}x & f(x)为偶函数\\\end{cases}\)

1.\(\int_{-2}^2 xln(1+e^x){\rm d}x\)令t=-x化简后会有意外发现2.\(\int_0^\pi xf(sin x){\rm d}x = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sin x){\rm d}x\)令t=\(\pi\) - x3.教科书P209 例5.4.19\(设f(x)，g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)+f(-x)=A（A为常数），则\int_{-a}^a f(x)g(x){\rm d}x = A\int_0^a g(x){\rm d}x\)令t=-x可以证得

\(设f(x)是以T（T>0）为周期的连续函数，则\)\(（1）对任意的常数a，有\int_a^{a+T}f(x){\rm d}x = \int_0^T f(x){\rm d}x\)\(（2）对任意的正整数n，有\int_a^{a+nT}f(x){\rm d}x = n\int_0^T f(x){\rm d}x\)！！：周期函数求导后还是周期函数，但积分后不一定是可导函数

1.教科书P210 例5.4.20周期函数求导后还是周期函数，但积分后不一定是可导函数，需满足一周期内原来的函数的积分和常数的积分之和为0

\(\int \frac{x^2}{(1-x)^{20}}{\rm d}x\)

1.先看分母是否为一次式*二次式，如果是直接待定系数法+相应分式解法2.如果不是一般就不会是分部积分法了，考虑凑微分或倒代换

1.\(\int \frac{1}{(1+x^2)^2} {\rm d}x\)2.\(\int \frac{1}{1+x^4} {\rm d}x\)凑微分\(x+\frac{1}{x}\)加上待定系数法3.\(\int \frac{x^2}{3x^3+4} {\rm d}x\)

1.基本积分表（6个基本三角函数及其2次方），\(\sqrt{1+sin t}，\sqrt{1+cos t}\)2.恒等变形（1）分母化为单项（2）添项（不含常数的三角函数一次有理式）（3）\(sin^2x + cos^2x = 1\)（4）积化和差3.转化为有理函数（1）\(cos x \to {\rm d}sin x，2sin xcos x \to {\rm d}sin^2x\)（2）万能换元法（三角函数一次式的倒数）

1.\(\int\frac{4sin x + 3cos x}{sin x + 2cos x}{\rm d}x\)2.\(\int \frac{1}{sinxcos^3x}{\rm d}x\)\(1=sin^2x + cos^2x\)转化为二次式除以四次式，上下同除\(cos^4x\)，换元\(tan x\)3.\(\int \frac{1}{(sinx+cosx)^2}{\rm d}x\)底下使用辅助角公式

1.基本积分表中的形式根号内一次式，根号内二次式及其倒数+\(\frac{x}{sqrt{1+x^2}}\)PS：此条为要背的，出现这种形式时要有迅速的意识，但变形时不建议从这个角度入手2.平方差去除根号3.观察根号内多项式次数（1）根号整体次数严格小于1（或有\(e^x\)）时一般令t等于根号整体（2）根号内为x的二次式时一般采用三角代换

目前来看只能将\(lnx\)整体换元或分部积分降次两条路题目：1.\(\int \frac{1+lnx}{(xlnx)^3}{\rm d}x，\int \frac{1-lnx}{(x-lnx)^2}{\rm d}x\)2.\(\int \frac{lnx}{\sqrt{x}}{\rm d}x\)

1.\(\int e^x sinx{\rm d}x\)2.\(\int \frac{1}{1+e^x}{\rm d}x\)

\(设函数f(x)在[a,+\infty)上连续，取b>a，称\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x = \underset{b \to +\infty}{lim} \int_a^b f(x){\rm d}x 为f(x)在该区间上的反常积分。\)若极限值存在且为I，就称该反常积分收敛且值为I，否则称为发散\(f(x)在(-\infty,b]上的反常积分定义类似\)\(f(x)在(-\infty,+\infty)上反常积分为\int_{-\infty}^c f(x){\rm d}x + \int_c^{+\infty}f(x){\rm d}x，c为任取的值\)

PS：第三类反常积分的一条性质：其拆开后的两部分都收敛，原来的反常积分才收敛。第三类反常积分定义为什么一定要引入c？

(1)\(当常数p>1时，反常积分\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}收敛于\frac{1}{p-1}\)(2)\(当常数p \leq 1时，反常积分\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}发散\)

2.线性性\(若\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x 和 \int_a^{+\infty}g(x){\rm d}x均收敛，k_1,k_2为任意常数，则\int_a^{+\infty} [k_1f(x)+k_2g(x)]{\rm d}x也收敛且等于两者之和\)

3.大收则小收，小散则大散\(设函数f(x)，g(x)在[a,+\infty)上连续，且0 \leq f(x) \leq g(x)\)(1)\(如果\int_a^{+\infty} g(x){\rm d}x收敛，则\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x也收敛\)(2)\(如果\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x发散，则\int_a^{+\infty} g(x){\rm d}x也发散\)

4.\(设f(x)在[a,+\infty)上连续，如果\int_a^{+\infty} |f(x)|{\rm d}x收敛，则\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x也收敛\)PS:补充定义\(设f(x)在[a,+\infty)上连，\)绝对收敛：\(\int_a^{+\infty} |f(x)|{\rm d}x收敛，就称\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x绝对收敛\)条件收敛：\(\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x收敛，\int_a^{+\infty} |f(x)|{\rm d}x发散，就称\int_a^{+\infty} f(x){\rm d}x条件收敛\)

5.\(若f(x)在R上连续且为奇函数，且\int_{-\infty}^{+\infty} f(x){\rm d}x收敛，则必收敛于0\)可利用第三类无穷区间上的瑕积分的定义证明（拆开后变换）

1.\(设函数f(x)在(a,b]上连续，且\underset{x \to a^+}{lim} = \infty，任取\epsilon > 0，使a+\epsilon \in (a,b]，称\int_a^b f(x){\rm d}x = \underset{\epsilon \to 0^+}{lim} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x){\rm d}x为无界函数f(x)在(a,b]上的反常积分\)2.\(\int_a^b f(x){\rm d}x = \underset{\epsilon \to 0^+}{lim} \int_{a}^{b-\epsilon} f(x){\rm d}x，b为瑕点\)3.\(\int_a^b f(x){\rm d}x = \int_a^c f(x){\rm d}x + \int_c^b f(x){\rm d}x，c为瑕点\)PS：一般地，将综合型反常积分分解为若干个单一型反常积分之和，当且仅当每个单一型反常积分都收敛时，对应的综合型反常积分收敛。

（1）\(当常数q