考研数学一（线性代数）模拟试卷92(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则()．

A．r(B)=n

B．r(B)＜n

C．A2—B2=(A+B)(A—B)

D．｜A｜=0

正确答案：D

解析：因为AB=O，所以，r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)

≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数

2．设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2

不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有()．

A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关

B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关

C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关

D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关

正确答案：A

解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3

线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以

α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A)．知识模块：线性代数

3．设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()．

A．r(A)=r(B)

B．｜A｜=｜B｜

C．A～B

D．A，B与同一个实对称矩阵合同

正确答案：D

解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B

合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．知识模块：

线性代数

4．设A，B都是n阶可逆矩阵，则()．

A．(A+B)*=A*+B*

B．(AB)*=B*A*

C．(A—B)*=A*一B*

D．(A+B)*一定可逆

正确答案：B

解析：因为(AB)*=｜AB｜(AB)－1=｜A｜｜B｜B－1A－1=｜B｜B－1．｜

A｜A－1=B*A*，所以选(B)．知识模块：线性代数

5．设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()．

A．r(A)=m

B．r(A)=n

C．A为可逆矩阵

D．r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示

正确答案：D

解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性

表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故

选(D)．知识模块：线性代数

6．设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，

α3，令P=(3α2，一α3，2α1)，则P－1AP等于()．

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：显然3α2，－α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以P

－1AP=，选(C)．知识模块：线性代数

填空题

7．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的

代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=________．

正确答案：1

解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数

8．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是________·

正确答案：AB=BA

解析：A2一B2=(A+B)(A—B)=A2+BA