《殷商甲骨文“天”字、“干”字考释——“数学天文学”的概念（一）》

张天弓

研究殷墟《干支表》的学术成果，多不胜举，但天文学意义上的干支“西源说”的阴影却始终挥之不去。【1】江晓原、纽卫星《中国天学史》论述天文学中“黄道十二宫”与“二十八宿”这种体系，涉及古代中国、印度、埃及、波斯和阿拉伯国家，而这种起源之处主要有巴比伦、中国、印度三说。李约瑟主张巴比伦说。郭沫若《释支干》认为“黄道十二宫”早在殷代就已传入。上海人民出版社，2005年版，第273—275页）现在，我们可以从秭归遗址“数学天文学”（距今约7000年）的源头去探究“干支”概念。“干支”、“天干”、“地支”这三个概念，未见有过专门研究。这里先考释殷商“天”字、“干”字，探讨“天干”概念的源流。

一

殷商甲骨文“干”字主要有四种形体（图1），比较复杂，现一一具体分析：

（1）“”（《合集》28059，无名组）形，《说文》释“干”：“犯也。从反入，从一。”清代学者吴夌云以为：“干从反大，象倒立人形。”罗振玉曰：“为到人形”，“与逆同字”。马叙伦《说文解字六书疏证》引吴、罗二说，认同罗说“与逆同字”，“逆”字本形为“屰”，不认同“为到（倒）人”。【2】李圃主编《古文字诂林》第二册，上海教育出版社，2004年版，第656页）

笔者以为，“干”字一形“”反则为“大（）”字，与殷墟“大”（，《殷契粹编》122）字相似。“屰”字一种形体“”（《合集》18938，宾组）确是“倒人”或“反大”，罗说可从。“大（）”字、“屰（）”皆象为大人之形，“屰（）”为反。“干（）”为“反大”或“倒人”。

（2）“”（《合集》4945，宾组）形，与“干（）”相同，即是“反大”或“倒人”，表示怀孕之“大”或“人”，为象正面孕妇之形，大肚子里面的小“口”为胎儿。“”同“”，“”同“”，二形中间的笔画为“一”，即是“大一”，“”形中间的“大一”孕养“胎儿”，可谓“小一”。《孟子·告子上》：“从其大體为大人，从其小體为小人。”【3】〔清〕焦循《孟子正义》，丛书集成本，中华书局，1954年版，第467页）“小體”孕育于“大體”之中。

殷墟“交”（，《合集》32509，历组）字，象正面妇女怀孕之形。《说文》释“交”：“从大，象交之形。”【4】〔清〕段玉裁《说文解字注》，〔清〕上海古籍出版社，1981年影经韵楼藏版，第494页）这是指“大”或“干（）”之因，殷墟“因”（，《合集》21579）字，包含并超越了怀孕之因，其方框囗之形，应与方田相关。

许慎文字学的数理逻辑，与墨子相类，属于“历史因果”理论，不过更突出了“摹状”的意义,在“词”与“字”的关系上“象形字”是“名”的本根。西方则不同，拼音文字从属于“名”。许慎根本不知殷墟甲骨文，为什么《说文》能够说解象形字的初文、造字之意？为什么可以从秦汉通行的“犯”之意去反溯“干”的造字之意？西方现代数理逻辑在指称问题上的“摹状词理论”与“历史因果理论”【5】〔英〕索尔·克里普克《命名与必然性学篇·中译本序》，梅文译，上海译文出版社，1988年版，第1—7页），对于我们理解文字学的数理逻辑具有参照意义，墨子的数理逻辑本来就是把“命题逻辑”称为“命文”【6】谭戒甫《墨辩发微》“经上78，说”：“有实必待文多也命之”。中华书局，1964年版，第162页）这“命文逻辑”就是指命题逻辑。

《说文》释“干”之“从一”如何理解？

殷墟“身”字有两种形体“”（《合集》376，宾组）“”（《合集》13669，宾组），象女性怀孕之形，字形腹部中加“丨（十）”表示十月怀孕，数理即是“0—10”。“干”字反形“”亦同，所以为天干十。所以，“”或“”，“”或“”，中间的“一”为“大一”。

（3）“”（《鄴中片羽》三下，39.11，上部象男性睾丸之形。殷墟“屰”字另一种形体“”（《合集》66，宾组），象男女性交之形。“屰”字另一种形体“”（《合集》10961，宾组），象人丁出生之形。所以，“干”同“屰”，即是罗振玉所谓“干”为“人到也”，人丁出生就是“人到也”，来到这个世上。“到”同“倒”，人丁出生为倒形。

殷墟“单”（，《合集》21729）字，上部与“干（）”字相似，读音相近，所以《说文》释“单”为“大也”【7】《说文解字注》第63页），此“大”为象正面人形。

（4）“干”字另一形体“”（《合集》37473，黄组），上部象人丁之形，又象枝杈之形，可与地支十二相连，下面详述。

所以，《说文》释“干”的原文应是“犯也，从人反入，从一”，今传二徐本皆脱漏“人”字，讹为“从反入”。

《说文》释“大”：“天大，地大，人亦大焉，象人形。”【8】《说文解字注》第492页）殷墟“天”字有六种形体（图2），现作具体分析：

（1）“”（《合集》13804）形为“大”字头顶上有“一”。《说文》释“天”：“天，颠也。至高无上，从一大。”段注：此以同部叠韵为训也，凡言元始也，天颠也。颠者，人之顶也。以为凡高之称。始者，女之初也。以为凡起之称。【9】《说文解字注》第1页）可知“大一”是指“天”，许说是强调天文学的“天顶”，段注提示“大”之“生”，即是“始者，女之初也”，“天顶”为“三合（亼）”函数，所以为“女之初也”。

（2）“”（《合集》41758）形象“大”字头顶有“日”之形。《山海经》记有“羲和生十日”的神话 ,羲和”为帝俊之妻。【10】袁珂《山海经校注·大荒南经》：“东南海之外，甘水之间，有羲和之国。有女子名曰羲和，方日浴于甘渊，羲和者，帝俊之妻，生十日。”，郭璞注：尧因此而立羲和之官，以主四时，其后世遂为此国。上海古籍出版社，1980年版，第381—383页）此“十日”是指十个太阳，与“天（）”干之字数理十相同。所以，段注所谓“女之初也”是指女神“羲和”，“主四时”实为二十四时辰连二十四节气，而“羲和国”的说法不确。

（3）“”（《合集》22431，午组）为上与大的合体，“上”（，《殷墟文字甲编》》1164）表示“天顶”的方位，即是《说文》所谓“至高无上”的意思，笔者补证，“上（）”字作为数轴线未封口，还有天极、北极垂直方向之左右方向运算的意思。

（4）“”（《合集》18400，宾组）形是“天”上有日形，表示“日”之运转，即是圆转。

（5）“”（《合集》36740）形，与“夫”字相似，“大”之人形头顶实为“甲（十）”字，殷墟《干支表》（《合集》37086）中首字“甲”即为“十”。此形表示“天”与《干支表》之“甲（十）”对应。《说文》释“夫”：“丈夫也，从大一。”段注：“大则为天，从大；一则为夫，于此见人与天同也。”【11】段玉裁《说文解字注》第499页）许、段未见殷墟甲骨文，释形不确，但与“天（）”字数理相通。

（6）“”（《合集》22077，午组）形为大与干之合体，表示“天干”的意思，与殷墟《干支表》相衔接。这就是说，殷墟“干”与“天”二字的造字之意，是表示“天干”概念本身，涉及“人”、“大”、“一”“日”、“交”、“身”、“孕”、“夫”、“女”“上”、“颠（顶）”、“始”、“生”等字，并且与地支十二及《干支表》相连，必须经过“十一”。

三

怎么证明“”是表示“天干”？《说文》释“干”是“从（人）反入，从一”，殷墟“化”（，《合集》151宾组）字为二人形相反，意义比较丰富，本义是下面的一人之出生，与许说相合。

战国楚简“天”字的两种形体：“”（《郭店楚简·老子（甲）》为从一从上下二“人”，造字之意是子孙繁衍为天意，此“一”为大一：“”（《郭店楚简·大一生水》从上从上下二“人”，上同大一。二形与殷墟“化（）”字的本意相同。楚简“人”字有两种形体：“”（《曾侯乙简书》）”形多显新体，为“天”字所本；“”（《包山楚简》）则袭旧而笔势新变。

殷墟“化（）”字数理二十四。《说文》释“體（从豐）”：“總十二属也。”【12】段玉裁《说文解字注》第166页）一人之“體”数理十二，二人之体则二十四。二十四表示二十四时辰与二十四节气。“化（）”字的普遍意义是长辈与子辈在田野中劳作与生活，包括生儿育女，与二十四时辰与二十四节气对应。

《墨经》“经下19”：“景迎日，说在转。”“经下19，说”：“景〇日之光反烛人，则景在日与人之间。”谭戒甫注：“日光照在人身，影在人后。但迎是面向，何以要说影迎日呢”？“因为这是回光反照的日光，不是正面射来的日光，故称为转。转即反照之意。”【13】谭戒甫《墨经分类译注》，中华书局，1981年版，第68页。按：此条编排有误，将经句“说在转”误作“说”，对照《墨经发微》同条文字可知）

此条是墨子“光学八条”之第四条，谭注精辟。墨子的光学与他的数学天文学相关，人之倒影在人后，实是背日，这是回光反照；“迎日”与“背日”就是是“转”。“化（）”字的造字之理，有光学的意义，其现实依据是水“田”中人倒影为“反”,即为“化（）”，这与二十四节气中的日出而作、日落而息相关，成为天文学坐标体系之圆形的运转。

汉字的字形思维是“目”、“视”，“思”，思维方法是“總属相连”，即是将极端具象与极端抽象牵连起来，不同于我们熟知的“總属分割”，例如“种差十邻近的属”。殷墟“化（）”的顶极抽象意义是“人化”、“文化”，与“文明”对应。在天文学中，“目”、“视”、“思”是“视运动”概念，“二十四”同时表示时辰与节气的数值，这是“總属相连”，具有“视觉思维”的特性，可以说是直觉思维与抽象思维尚未分化的状态。

“人化”从“氏族”、“集体”的视角看，涉及人类的形成。笔者已作多篇“数学天文学”的“视运动”概念的探索，考释长江三峡秭归遗址距今约7000前的“太阳神女石刻”顶部的太阳齿轮是23个，下部女神头顶表示“大一”的1个齿轮撬动起24个齿轮的运转，表示24时辰与二十四节气，这是“视运动”的数学天文学，不是说自然的太阳、月球、地球的运转是靠伏羲、女娲撬动的，秭归先民也没有这种想法。笔者认为，这二十四时辰与二十四节气是“生物钟”概念，是人类形成过程中极其漫长的演化结果。【14】张天弓《楚金文、楚简“集”字考释——简论集合论函数运算黄金分割率》，载于《书法报》8月18日），这也是殷墟“化（）”字的造字之意，与“天干”相关。

长江三峡及其周边地区，考古已经发现有“巫山人”（距今约214万年）、“建始人（距今约200万年）”、“郧阳人”（距今约100万前）、“长阳人（距今约19.5万年）”等，学者认为：“湖北地区不仅发现人类化石的数量较多，而且直立人、早期智人和晚期智人三个阶段的人类化石齐全，在全国尚属首见。”【15】刘俊男《长江中游地区文明进程研究》，科学出版社，2014年版，第121页。按；该书所述据树轮校正的数据，“估计城背溪文化距今9000—7500年”，秭归遗址的“陶支座”与城背溪文化对应的时限保守估计在距今7000年）以数学天文学“视运动”的前提“生物钟”概念为基点，可以探究长江三峡及其周边地区的人类化石及其相关遗存与数学天文学的关系，这是中国古代考古学的一条新路径。

探究楚人的起源，必须考察“楚”字。殷墟“楚”字的两种形体“”（《合集》32986，历组）“”（《合集》29984，无名组）从林、从正，音读足，造字之意是步行林中之正道，方位在南，包含天文学推步法的“正方定极”的意思。“正”（《合集》6310，宾组）字之方形，与“化圆为方”相关，其字的一种形体（《合集》6310），天顶之长方形为两个黄金分割率之“度”（，《战后宁沪新获甲骨集》1.234）之相合（图3）。

图3

屈原的数理逻辑深受墨子的影响而自创新意，首次提出“大一”的概念，如《九歌》第一章《东皇大一》【16】原本应为“大一”，见张天弓《“书道”考——郭店楚简〈大一生水〉中的书道哲学》，载于《中国书法报》2020年7月21日）；又首次提出“三合”函数的概念与极数“九”的概念。

《天问》开篇就探究“遂古之初、上下未形”，发问：“阴阳三合，何本何化？ 圜则九重，孰营度之？”王逸注：三合为天地人三合。【17】黄林庚《楚辞章句疏证》，第999—1013页）这个阴阳交合之“三合”，是干支集合论的函数“三合（亼）”，数理哲学的意义是天大地大人的三个大“一”之“三合（亼）”。楚金文、楚简的“集”字（、、），直接表示干支集合论函数、黄金分割率的概念、算法、数值，即是“三合（亼）”函数与函数六，并通过字形显示自身，其“”上部就是“三合（亼）”，“”、“”上部就是“六”。【18】《楚金文、楚简“集”字考释》这显然是受到屈原的数学天文学的影响，而屈原的更深层次的反思是“三合”的“何本何化”。

屈原亲见过“女娲”的艺术形象，《天问》的问题是“女娲有体，孰制匠之”，秭归遗址“太阳神女”即是伏羲、女娲之合体，其女娲形象的下体确实有“三合（亼）”之形。楚金文《王孙遗者钟》“丁（）”字【19】张天弓《楚系金文赏析》，《篆书经典赏析》，湖北美术出版社，2018年版，第73页）它同时是几何学的等边三角形。数学天文学运算“三角函数”，进一步是勾股定理，再进一步就是运算“孰营度之”之“度（）”，即是黄金分割率之直角三角形，成为运算周日视运动与周年视运动的关钮。

“圜则九重”源自墨子“数学天文学”中几何学之“圜”，“圜”不同于“圆”，是指两个圆。“九重”是指两个“九天”，这是运算天干十地支十二交合的奥秘所在。墨子论述视运动的宇宙，使用两个“合”，一则合古今旦莫，一则合（弥）东西南北之异所。【20】谭戒甫《墨辩发微》，中华书局，1964年版，第119—120页）屈原在时间之九（久）与空间之东西南北“无穷”的基础上，进一步确定“《九辨》、《九歌》”即是两个极数“九”，这就是说，运算天干十有一个极数“九”满一而“进十数位”,运算地支十二有一个极数“九”满一而“进十数位”，同理运算干与支用两个十一。【21】张天弓《初论殷商甲骨文中的“进十位数制”——考释“术”“殳”“攴”“恖”、〈干支表〉与楚简〈算表数理表〉、罗素〈数理哲学导论数理表〉、〈书写笔顺图〉之关系》载于《书法研究》2021年第2期）

秭归遗址“陶顶盘”中有四祖“对‘文’”，一组““对‘文’”即两个十一，数理二十二。“对‘文’”为“合文”概念本身，与殷墟“化（）”相比，属于两个正面人形而头对头，也是人的倒影之反形。（图4）

此“文”字象正面人形，是“大”字、“人”字的本形，表示人文，与天文学“正方定极”相关，也与“楚”字相关，同时又是数字“六（）”（《合集》5825，宾组）与“五（）”（《殷虚书契前编》1.44.7）之合体“十一”，算法是“六（）”加“五（）”为十一。分数“文”之“十一”则为“六（）”与“五（）”；倍数“六（）”为十二，倍数“五（）”为十。“十”与“十二”的交合，即为天干“十”与地支“十二”之交合，即是《干支表》的数理。这都是集合论。墨子的集合论函数公理化，就是运算《干支表》。

“文”字运算黄金分割率：

d.0.61875－0.00075＝0.618；

 “对‘文’”运算黄金分割率：

d.0.61875－0.00075＝0.618；

运算“文”字、“对‘文’”的数值相同、算法相同，仅为步骤相差一步，即22÷2＝11，但意义有别，“对‘文’”是运算整个《干支表》，“文”则运算半个《干支表》，涉及天文学之“中分”，与几何学相关。“文”字、“对‘文’”这两个黄金分割率，与殷墟“楚”中的“正”相关，“正（）”字上面的长方形即是两个黄金分割率之“（）”。

殷墟“化（）”数理二十四，秭归“陶顶盘”中的“对‘文’”数理二十二，这是为什么？“陶顶盘”是数学天文学的起始，与殷人的算法有别，首务是视运动的划分天地人。“陶顶盘”中轴线上“文”的左右均有数字“十二”（图5），中间的“二五”是“十”，十月怀孕而生；上“一”为天，下“一”为地，此数字“十二”表示天地人共生。其““对‘文’”数理二十二，加上“一”下“一”即为二十四，与殷墟“化（）”字数理相同。在整个“陶顶盘”中，表示数字十二者仅见此形，表示数字二十四者仅见此“对文”。因为是“数学天文学”，所以地理融合在天文之中。

屈原《天问》是秭归遗址的古老算法，提问是“天何所沓，十二焉分？”殷墟“沓”字的两种形体“”（《下屯南地甲骨》2579，无名组）为上“水”下“月”或“口”，表示水中倒影，有“生”的意思：“”（《合集》28789，无名组）为上“半丁”下“月”。所以屈原有“十二焉分”之问，二十四之中分为十二。太阳齿轮24个，表示二十四节气之中分即是十二个月。《干支表》之“丁”为数理四，在天文学中“半丁”为数理二，“月”为数理十，怀孕十月而生，“沓”为数理十二。但是，屈子的问题核心是“天”的“十二焉分”；意思是天圆数理十，而初分天地人如何成“天十二”？今学人多皆释为十二时辰，这不合屈子的原意。                          

秭归遗址“陶顶盘”（T0916⑧120，图7）的圆周边有八个“方格”，为二“田”字横式相连（图6）【22】国务院三峡工程建设工程委员会办公室、国家文物局编《秭归柳林溪》，科学出版社2003年版，摹图第82页、彩板2），是伏羲八卦的原型，也是天文学坐标体系“周”概念的原型，这个问题另文探讨，这里仅提示与干支、天文学相关要点。

“陶顶盘”中数字体系中，这个“八方格”是表示数八的唯一图形符号，是天文学“化圆为方”、“正方定极”的几何学，殷墟只见“方周”概念与圆周之形。“爻”（，《合集》13705，宾组）字，象卜卦所用四根竹木小棍交错放置之形，其起源应是结绳为治的绳纹及原始巫术所用的算筹小竹木棍，包括计数的功能。《说文》释“爻”：“交也，象《易》六爻头交也。”《说文叙》开篇论述文字起源，断定源头是庖犧（伏羲）氏“始作《易》八卦”，其后是“神农氏结绳为治”，再后是黄帝之史仓颉“初造书契”【23】《说文解字注》第494页、第753页）。长江三峡秭归遗址“陶顶盘”证实了许慎的推论，不过是文字、数字、书契、八卦、绳纹在天文学图形中合为一体。

四

秭归遗址“陶顶盘”中的“文”，是殷墟“大”字的原型。“大”字涉及天大、地大、人大，所以为三个“大一”：三个“大一”形成“三合（亼）”函数，“三合（亼）”是“三角函数”概念的原型，“三角学”的开端，这是天文学中的几何学。

不知“三合”函数，中国天文学研究中至今都没有“360度”概念、集合论函数的概念、“黄金分割率”之“度（）”的概念。清代经学家江永《推步法解》的前提“恒三百六十度”，完全没有进入中国天文学研究的视野。学术研究拿什么去证明“干支”不是源自古巴比伦呢？

邓可卉《古希腊数理天文学溯源》论述元代以后中西天文学比较问题时，提出两个数值：

（1）古巴比伦的圆周360°，中国战国时期的圆周365.25度，是长度而不是角度（依据关增建《中国古代对回归年长度的测定》）【27】邓可卉《古希腊数理天文学溯源——托勒玫《至大论》比较研究》，山东教育出版社，2009年版，第268—269页）     

从中国秭归遗址“太阳神女石刻”中的太阳24个圆齿轮看，天文学的开端就是角度，24时辰对应360°，这是角度与长度的交换。同时，太阳24个圆齿轮的运转还有动因，相当于集合论函数的自变量，即是“三合（亼）”函数。古巴比伦泥版上的楔形文字是拼音文字（公元前2000左右），计数符号“”表示1，【28】〔美〕戴维·林德伯格《西方科学的起源》张卜天译，商务印书馆，2019年版，第20—21页）“太阳神女石刻”的三合函数的符号“（）”，表示大“一”，如果二者有联系，谁影响谁是不言而喻的。更为关键的问题是，古巴比伦数值天文学未见24时辰，因为没有运算“化圆为方（田）”、“正方定极”。秭归遗址“陶顶盘”中的数字与几何学图形，可以运算出24个黄金分割率之“度（）”，与24时辰、二十节气是对应的，所以称之为“数学天文学”。

所谓“圆周365.25度”，依据是东汉张衡《注浑天仪》，推论出自战国时期是正确的，首先是墨子的数学天文学，其次是屈原的数学天文学，还有楚金文、楚简相关字形的印证等。不过，中国古代的天文学，只有这一个天文学的数值，而且是指冬至点回归年，冬至为岁首，这显然是不合常理，也不合古人的造字之意。立春不在天文学的坐标体系中？春夏秋冬二十四节气，没有春分的太阳年的概念与数值？战国时期才有周年的确切天数？殷商甲骨文中各个时期均见到《干支表》，《干支表》没有运算周岁的作用？这都是令人难以理解的。

秭归“陶顶盘”可以运算春分点太阳年长度为365.275天，也是365.275度。其算法极简：

a.0.61875－0.5＝0.11875

b. 0.11875×36＝4.275

c.1＋4.275＝5.275

d.360＋5.275＝365.275

见到这种算法，就会觉得这是天文学中“360度”的原型，应该与古巴比伦天文学的360度有关系。

（2）“〔日〕杉本敏夫通过一系列的计算和分析认为，在古率3的条件下，会圆术这些数值的计算结果与现代三角学的结果十分近似，而且在古率3的条件下，下面两个函数有整齐的对称性”：

邓可卉进一步比较会圆术与现代三角学的精度，制作会圆术的四个图形（图10）：

把它们换算为现代度，分别是90°，45°，60°，30°，经过证明与运算，图（c）和图（d）相等，图（a）和图（b）相等，具体过程从略。【29】《古希腊数理天文学溯源》第269—273页）

中国古代的数理逻辑的逻辑值是“动”，“动”包含静与动，例如秭归“太阳神女石刻”上部的太阳齿轮是23个，加进1个撬动24个运转，形成360°运转，这是恒动或永动（图11），无须考虑，再运算静与动。变换为“陶顶盘”圆形，其垂直轴线天顶之点为0°起点，即立春点，这是“静”，运算一周为360°，可以表述为立春点“0°—360°。加进运算二十四节气（图），即为24个圆心角，平均每个角为15°起点，即立春点，这是“静”，运算一周为360°，这是“动”，是“恒动”统摄“静”与“动”（图）。

图11                     图12

“恒动”的运算过程是（图12）：

0°，15°,30°,45°,60°,75°,90°……

这是天文图形“巫（）”（《合集》21074，师小字）字所示，运算天文坐标体系是加“巫（）”加“癸（）”（《合集》10450.宾组）”字的天文图形（图）。“癸（）”运算24°，采用“四分法”，即春分点0°，同时是“巫（）”形的45°，对应秋分点，夏至点对应冬至点，因为中分子午线，冬至点0°，同时是对应“巫（）”形的45°，运算回归年即有与春分点太阳年的岁差。所以，前述杉本敏夫，邓可卉计算的“会圆术”的相等图形，探寻古率是准确的，其计算与同时全在秭归“陶顶盘”的坐标体系范围内，可以看的更明晰。

天顶的“恒动”是指运算“分数位”，即现在通称的“十进小数”、天文学的“十进分数”，其实源头是运算“分数位”的极数“0.9”满一（0.1）而进“1”。“分数位”是“大一”，三个大一形成“三合（亼）”函数，西汉刘歆表述为“函三为一”，这应该是杉本敏夫所谓“古率3”的依据，于是计算出那“两个函数有整齐的对称性”。

所有字形必见书版，三个“大一”必见书版之“大一”，就是“丁”字。秭归“陶顶盘”中“对‘文’”，一个“文”字数理十一，可以运算黄金分割率之“度（）”，一正一反的两个“文”，是正反两个黄金分割率之度“度（）”相合，即是一个长方形之对角分为两个直觉三角形，这《干支表》中“卯丁·4：4”之“丁”字。“丁”字的一种形体“丁”（，《合集》32640，历组）字，这个长方形的长宽之比为0.618:0.382。对角二分就是“度（）”之直角三角形，直角90°，直角的长边与短边之比为0.618:0.382。这就是杉本敏夫、邓可卉探究沈括“会圆术”的古率的证明，不过“古率”是秭归“陶顶盘”中一正一反两个的黄金分割率之“度（）”相合（图13）。

图15

“陶顶盘”中“对‘文’”有“反”，现实依据是水“田”中正面人形与倒影人形，《说文》是“干”的“从反人入、从一”，客观上是指天文学“视运动”起源的极其漫长的进化过程，所以才能成为极简加速度运算，形成黄金分割率之“度”。两个“度（）”合并成一个“方（丁，）”，就是“两个函数有整齐的对称性”的原型，这具有现代三角学的特性应该是没有疑义的。

中国古代数学天文学与古巴比伦“数值天文学”属于两种天文学体系，但存在文明交往中的相互影响。大体上说，先商时期，中国数学天文学影响古巴比伦数值天文学，可以从坐标体系及其核心数值进行推论，而明末清初《崇祯历书》受到托勒密《至大论》中的古巴比伦天文学影响，一直至今。有无二十四时辰，应该是判断这个问题的基本准则。

在秭归“陶顶盘”中，一种表示“天干”意义方式是“八方格”起首未封口之“田”形（见图9），这是“动”，所以十“天干”是“陶顶盘”运转的动因。360度在数学天文学中本身就具有周转的意义，因为是“恒动”。

（2012年10月9日）