1．理解并给出F列术语的定义：

函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、超码、主码、外码、伞码（all-key）、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。

答：（1）函数依赖：设R（U）是属性集U上的关系模式。X、Y是属性集U的子集。若对于R（U）的任意一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X上的属性值相等，而在Y上的属性值不等，则称X函数确定Y或Y函数依赖于X，记作X→Y。（即只要X上的属性值相等，Y上的值一定相等）。

（2）部分函数依赖：若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作：

（3）完全函数依赖：在R（U）中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X′，都有X′↛Y，则称Y对X完全函数依赖，记作

（4）传递依赖：在R（U）中，如果X→Y，（Y⊈X），Y↛X，Y→Z，Z∉Y，则称Z对X传递函数依赖，记为：

（5）候选码：设K为R中的属性或属性组合，若，则K为R的候选码。

（6）主码：若候选码多于一个，则选定其中的一个为主码。

（7）外码：关系模式R中属性或属性组X并非R的码，但X是另一个关系模式的码，则称X是R的外部码，也称外码。

（8）全码：整个属性组是码，称为全码。

（9）1NF：关系模式R的每一个分量是不可再分的数据项。

（10）2NF：关系模式R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于码。

（11）3NF：关系模式R中不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z不是Y的子集）使得X→Y，Y↛X，Y→Z成立。

（12）BCNF：关系模式R∈1NF，X→Y且Y不是X的子集时，X必含有码。

（13）多值依赖：设R（U）是属性集U上的一个关系模式。X，Y，Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y。关系模式R（U）中多值依赖x→→y成立，当且仅当对R（U）的任一关系r，给定的一对（x，z）值，有一组y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关。

（14）4NF：关系模式R∈1NF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y（Y不是X的子集，Z＝U－X－Y不为空），X都含有码。

2建立一个关于系、学生、班级、学会等诸信息的关系数据库。

描述学生的属性有：学号、姓名、出生年月、系名、班号、宿舍区；

描述班级的属性有：班号、专业名、系名、人数、入校年份；

描述系的属性有：系名、系号、系办公室地点、人数：

描述学会的属性有：学会名、成立年份、地点、人数。

有关语义如下：一个系有若干专业，每个专业每年只招一个班，每个班有若干学生。一个系的学生住在同一宿舍区。每个学生可参加若干学会，每个学会有若干学生。学生参加某学会有一个入会年份。

请给出关系模式，写出每个关系模式的极小函数依赖集，指出是否存在传递函数依赖，对于函数依赖左部是多属性的情况，讨论函数依赖是完全函数依赖还是部分函数依赖。指出各关系的候选码、外部码，并说明是否全码存在。

答：（1）关系模式如下：

学生：S（Sno，Sname，Sbirth，Dept，Class，Rno）

班级：C（Class，Pname，Dept，Cnum，Cyear）

系：D（Dept，Dno，Office，Dnum）

学会：M（Mname，Myear，Maddr，Mnum）

（2）每个关系模式的最小函数依赖集如下：

①学生S（Sno，Sname，Sbirth，Dept，Class，Rno）的最小函数依赖集如下：

Sno→Sname，Sno→Sbirth，Sno→Class，Class→Dept，DEPT→Rno。

传递依赖如下：

由于Sno→Dept，而Dept→Sno，Dept→Rno（宿舍区），所以Sno与Rno之间存在着传递函数依赖；由于Class→Dept，Dept→Class，Dept→Rno，所以Class与Rno之间存在着传递函数依赖；由于Sno→Class，Class→Sno，Class→Dept，所以Sno与Dept之间存在着传递函数依赖。

②班级C（Class，Pname，Dept，Cnum，Cyear）的最小函数依赖集如下：

Class→Pname，Class→Cnum，Class→Cyear，Pname→Dept。

由于Class→Pname，Pname→Class，Pname→Dept，所以C1ass与Dept之间存在着传递函数依赖。

③系D（Dept，Dno，Office，Dnum）的最小函数依赖集如下：

Dept→Dno，Dno→Dept，Dno→Office，Dno→Dnum。

Dept与Office，Dept与Dnum之间不存在传递依赖。

④学会M（Mname，Myear，Maddr，Mnum）的最小函数依赖集如下：

Mname→Myear，Mname→Maddr，Mname→Mnum。

该模式不存在传递依赖。

（3）各关系模式的候选码、外部码，全码如下：

①学生S候选码：Sno；外部码：Dept、Class；无全码。

②班级C候选码：Class；外部码：Dept；无全码。

③系D候选码：Dept或Dno；无外部码；无全码。

④学会M候选码：Mname；无外部码；无全码。

3试由Armostrong公理系统推导出下面三条推理规则。

（1）合并规则：若X→Z，X→Y则有X→YZ。

（2）伪传递规则：由X→Y，WY→Z有朋XW→Z。

（3）分解规则：X→Y，Z⊆Y有X→Z。

答：（1）已知X→Z，由增广律知XY→YZ，又因X→Y，可得XX→XY→YZ，根据传递律得X→YZ。

（2）已知X→Y，由增广律知XW→WY，又因WY→Z，可得XW→WY→Z，根据传递律得XW→Z。

（3）已知Z⊆Y，由自反律知Y→Z，又因X→Y，所以由传递律可得X→Z。

4关于多值依赖的另一种定义是：

给定一个关系模式R（X，Y，Z），其中X、Y、Z可以是属性或属性组合。

设x∈X，y∈Y，z∈Z，xz在R中的像集为

Yxz＝{r Y |r.X＝x∧r.Z＝z∧r∈R}

定义R（X，Y，Z）当且仅当Yxz＝Yxz′对于每组（x，z，z′）都成立，则Y对X多值依赖，记作X→→Y。这里，允许Z为空集，在Z为空集时，称为平凡的多值依赖。请证明这里的定义和6.2.7节中定义6.9是等价的。

答：设Yxz＝Yxz′对于每一组（x，z，z′）都成立，现证其能推出讲义中定义的条件：

设s，t是关系r中的两个元组，s[X]＝t[X]，由新定义的条件可知对于每一个z值，都对应相同的一组y值。这样一来，对相同的x值，交换y值后所得到的元组仍然属于关系r，即讲义中多值依赖的条件成立。

如果讲义定义的条件成立，则对相同的x值，交换y值后所得的元组仍属于关系r，由于任意性及其对称性，可知每个z值对应相同的一组y值，所以Yxz＝Yxz′对于每一组（x，z，z′）都成立。

综上可知，两者是等价的。

5试举出三个多值依赖的实例。

答：（1）关系模式MSC（M，S，C）中，M表示专业，S表示学生，C表示该专业的必修课。假设每个专业有多个学生，有一组必修课。设同专业内所有学生选修的必修课相同，实例关系如下。按照语义对于M的每一个值Mi，S有一个完整的集合与之对应而不论C取何值，所以M→→S。由于C与S的完全对称性，必然有M→→C成立。

（2）关系模式ISA（I，S，A）中，I表示学生兴趣小组，S表示学生，A表示某兴趣小组的活动项目。假设每个兴趣小组有多个学生，有若干活动项目。每个学生必须参加所在兴趣小组的所有活动项目，每个活动项目要求该兴趣小组的所有学生参加。按照语义有I→→S，I→→A成立。

（3）上课（学号，教师工号，教室），一个学生可由多个教师来教，一个学生可在多教室上课，而且一个教师可在多个教室上课，一个教室可由多个教师上课。所以存在如下多值依赖：学号→→教师工号和学号→→教室。

6有关系模式R（A，B，C，D，E），回答下面各个问题：

（1）若A是R的候选码，具有函数依赖BC→DE，那么在什么条件R是BCNF？

（2）如果存在函数依赖A→B，BC→D，DE→A，列出R的所有码。

（3）如果存在函数依赖A→B，BC→D，DE→A，R属于3NF还是BCNF。

答：（1）A是R的候选码，且（BC）也是R的候选码，则R是BCNF。

（2）（ACE）、（BCE）、（CDE）均为R的候选码。

（3）R属于3NF，R不属于BCNF。

7F面的结论哪些是正确的？哪些是错误的？对于错误的请给出一个反例说明之。

（1）任何一个二目关系是属于3NF的。

（2）任何一个二目关系是属于BCNF的。

（3）任何一个二目关系是属于4NF的。

（4）当且仅当函数依赖A→B在R上成立，关系R（A，B，C）等于其投影R1（A，B）和R2（A，C）的连接。

（5）若RA→RB，RB→RC，则RA→RC。

（6）若RA→RB，RA→RC，则R．A→R，（B，C）。

（7）若RB→RA，RC→RA，则R，（B，C）→RA。

（8）若R，（B，C）→RA，则RB→RA，RC→RA。

答：（1）正确。因为关系模式中只有两个属性，所以无传递。

（2）正确。按BCNF的定义，若X→Y，且Y不是X的子集时，每个决定因素都包含码，对于二目关系决定因素必然包含码。

（3）正确。因为只有两个属性，所以无非平凡的多值依赖。

（4）错误。当A→B在R上成立，关系R（A，B，C）等于其投影R1（A，B）和R2（A，C）的连接。反之则不然。正确的是当且仅当函数依赖A→→B在R上成立，关系R（A，B，C）等于其投影R1（A，B）和R2（A，C）的连接。

（5）正确。

（6）正确。

（7）正确。

（8）错误。反例关系模式SC（S#，C#，G），（S#，C#）→G，但S#↛G，C#↛G。

8证明：

（1）如果R是BCNF关系模式，则R是3NF关系模式，反之则不然。

（2）如果R是3NF关系模式，则R一定是2NF关系模式。

证明：（1）用反证法：设R是一个BCNF，但不是3NF，则必存在非主属性A和候选码x以及属性集y，使得x→y，y→A，其中A→x，A→y，y→x不在函数依赖中，这就是说y不可能包含R的码，但y→A却成立。根据BCNF定义，R不是BCNF，与题设矛盾，所以一个BCNF范式必是3NF。

（2）反证法：假设R中非主属性A部分依赖于关键字K，则存在K′是K的子集，使得K′→A，因K′是K的子集有K→K′，但K′↛K，于是有K→K′，K′↛K，K′→A，并且A不属于K，因而A传递以来于K，即R不属于3NF，与已知矛盾，所以一个3NF一定是2NF。