悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘质量均匀分布而不可延伸的长链悬挂在两支点间，因均匀引力作用下而形成向下弯曲之曲线，因此而得名。

虽然弯曲的形状看似二次方的抛物线，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中证明因为绳子的张力会随著吊挂重量的不同，在底端为最小、愈高的地方愈大，如此一来，它所形成的形状就不是抛物线。

随后在1670年胡克根据力学推导出悬链线的数学特性。1691年莱布尼兹、惠更斯、约翰·白努利近一步推导出数学模型。

它的公式为：

其中cosh是双曲余弦函数，a {\displaystyle a}是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数，x {\displaystyle x} 轴为其准线。具体来说，a=T 0g λ{\displaystyle a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}} ，其中g {\displaystyle g} 是重力加速度，λ {\displaystyle \lambda } 是线密度（假设绳子密度均匀），而 T 0{\displaystyle T_{0}} 是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了a {\displaystyle a}

其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。

表达式的证明

如右图，设最低点A {\displaystyle A} 处受水平向左的拉力H {\displaystyle H} ，右悬挂点处表示为C {\displaystyle C} 点，在AC {\displaystyle AC} 弧线区段任意取一段设为B {\displaystyle B} 点，则AB {\displaystyle AB} 受一个斜向上的拉力T {\displaystyle T} ，设T {\displaystyle T} 和水平方向夹角为θ {\displaystyle \theta } ，绳子的质量为m {\displaystyle m} ,受力分析有：

Tsin⁡θ=mg {\displaystyle T\sin \theta =mg} ；

Tcos⁡θ=H {\displaystyle T\cos \theta =H} ，

tan⁡θ=dy dx =m gH{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}} ，

mg=ρs {\displaystyle mg=\rho s} ，其中s {\displaystyle s} 是右段AB {\displaystyle AB} 绳子的长度，ρ {\displaystyle \rho } 是绳子线重量密度，tan⁡θ {\displaystyle \tan \theta } 为切线方向，记a= ρH{\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}} , 代入得微分方程dy dx =as {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as} ;

利用弧长公式 ds= 1+( dy dx ) 2 dx {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x} ;

所以s=∫ 1+( dy dx ) 2 dx {\displaystyle s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x} ;

再把s {\displaystyle s} 代入微分方程得dy dx =a∫ 1+(dy dx) 2 dx ⋯⋯ (1) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)}

对于(1) {\displaystyle (1)} 设p=dy dx{\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} 微分处理

得p ′= ρH1+ p 2 ⋯⋯ (2) {\displaystyle p'={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)}

其中 p ′=dp dx = d 2y dx 2 {\displaystyle p'={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} ;

对(2)分离常量求积分

∫d p 1 + p 2=∫adx {\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int adx}

得ln(p+ 1+ p 2)=ax+C {\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})=ax+C} ，即 a r s i n hp=ax+C {\displaystyle \mathrm {arsinh} p=ax+C}

其中 a r s i n hp {\displaystyle \mathrm {arsinh} p} 为反双曲函数;

当x=0 {\displaystyle x=0} 时，d y d x =p=0 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0} ；

带入得C=0 {\displaystyle C=0} ；

整理得 a r s i n hp=ρ xH{\displaystyle \mathrm {arsinh} p={\frac {\rho x}{H}}}

悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。在工程中有一种应用，a {\displaystyle a} 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：

还有以下几个公式，可能也有用：

其中L {\displaystyle L} 是曲线中某点到0点的链索长度，α {\displaystyle \alpha } 是该点的正切角， F 0{\displaystyle F_{0}} 是0点处的水平张力，γ {\displaystyle \gamma } 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。