（二）
第十一章：三角形
一、三角形
1、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形。
组成三角形的线段叫做 三角形的边
相邻两边的公共端点叫做 三角形的顶点
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称 三角形的角。
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2、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：(三角形是封闭图形)
(1)三角形有三条线段
(2)三条线段不在同一直线上
(3)首尾顺次相接
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3、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
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4、三角形中的主要线段
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。(平分三角形的面积)
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。(简称三角形的高)
三角形的面积= 1/2×底×高
注意：三角形的高不一定在三角形内部，其交点也不一定在三角形内部。
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5、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
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三角形按角的关系分类如下：
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把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形： 等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
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6、三角形的稳定性
(1)三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的 稳定性。
(2)三角形 稳定性的应用：三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(3)四边形不具有稳定性。
(4) 三角形的表示：三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
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7、三角形的内角外角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
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二、多边形
1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
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2、多边形的分类：
(1)多边形可以分为正多边形和非正多边形.正多边形各边相等且各内角相等
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(2)多边形也可以分为凸多边形和凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形
注意∶一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁（不在直线的同旁），那么这个多边形就叫做凸多边形（凹多边形）。
正多边形是特殊的凸多边形。
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(3) n边形的性质∶ n边形的顶点的个数、边数、内角个数都是n。
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(4) 常见的正多边形：常见的正多边形有正三角形、正方形、正五边形、正六边形，其中它们的内角分别是60°、90°、108°、120°
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3、多边形的内角、外角和
(1)n边形的内角和= 180°×(n-2)
(2)n边形的外角和= 360°
(3)一个边形的对角线有 n(n-3)/2条，过n边形一个顶点能作出 (n-3)条对角线，把n边形分成了 (n-2)个三角形。
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第十二章：全等三角形
一、全等三角形
1、能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
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2、全等三角形有哪些性质
(1)全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2)全等三角形的周长相等、面积相等。
(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
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3、全等三角形的判定
(1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)
(2)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)
(3)角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)
(4)角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)
(5)斜边、直角边： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)
注意：SSA和AAA不能判断两个三角形全等
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4、方法指引—证明两个三角形全等的基本思路：
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二、角的平分线
1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
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2、角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
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注意：若是证明角平分线，先观察两角是否可以证明相等，若不行，则往角的两边做垂线，证明两条垂线相等。
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三、学习全等三角形应注意：
1、要正确区分“ 对应边”与“ 对边”，“ 对应角”与 “ 对角”的不同含义；
2、表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上
3、“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等
4、时刻注意图形中的隐含条件，如 “ 公共角” 、“ 公共边”、“ 对顶角”
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第十三章：轴对称
一、概念
1、把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
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2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线 对称。这条直线叫做 对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫做 对称点。
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3、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系：
(1)轴对称图形与两个图形成轴对称的 区别：
轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合；
而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。
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(2)轴对称图形与两个图形成轴对称的 联系：
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。
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4、轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
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5、等式的性质
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等
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二、线段的垂直平分线
1、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线，也叫 中垂线。
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2、线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的 距离相等 。
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3、与一条线段两个端点距离相等的点， 在线段的垂直平分线上。
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三、作轴对称图形
1、 作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。(注意取特殊点)
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2、 点(x , y)关于x轴对称的点的坐标为:(x,-y)
点(x , y)关于y轴对称的点的坐标为:(-x,y)
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3、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的 距离相等
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四、等腰三角形
1、等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合
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2、等腰三角形是 轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴(只有1条对称轴)
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3、等腰三角形的判定：
①如果一个三角形有两条边相等
②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等( 等角对等边)
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五、等边三角形
1、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）
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2、等边三角形的性质：
①等边三角形的三个内角都是60°
②等边三角形的每条边都存在三线合一
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3、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线(有3条对称轴)
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4、等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
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5、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
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六、最短路径问题
注意：基础薄弱的学生掌握前5种即可。
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第十四章：整式乘除与因式分解
一、整式的乘法
1、同底数幂的乘法：（m,n都是正整数）
即： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
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2、幂的乘方：（m,n都是正整数）
即： 幂的乘方，底数不变，指数相乘
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3、积的乘方：（n是正整数）
即： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘
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4、整式的乘法：
①单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；
②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
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二、乘法的公式
1、平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²
即： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
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2、完全平方公式：
(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²
即： 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍
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3、添括号：
①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
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三、整式的除法
1、同底数幂的除法：（a≠0 , m , n都是正整数，并且m>n）
即： 同底数幂相除，底数不变，指数相减
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2、规定：
即： 任何不等于0的数的0次幂都等于1
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3、整式的除法：
①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则把连同它的指数作为商的一个因式
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加
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四、因式分解
1、因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
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注意：
①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可
②因式分解必须是恒等变形
③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止
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2、因式分解与整式乘法的内在的关系
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式
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3、因式分解的常用方法
(1)提公因式法
①掌握提公因式法的概念
②提公因式法的关键是找出公因式。
公因式的构成一般情况下有三部分：
系数一各项系数的最大公约数
字母—各项含有的相同字母
指数—相同字母的最低次数
③ 提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式
第二步是提取公因式并确定另一因式
注意：提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项
④ 注意点：
①提取公因式后各因式应该是最简形式
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的
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(2)公式法：运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用
常用的公式：
① 平方差公式： a²－b²＝ (a＋b)(a－b)
② 完全平方公式： a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²
a²－2ab＋b²＝(a－b)²
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(3)十字相乘法：
对于这种二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法
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第十五章：分式
一、分式的概念
1、分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
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2、与分式有关的条件
① 分式有意义：分母不为0(B≠0)
② 分式无意义：分母为0(B=0)
③ 分式值为0：分子为0且分母不为0(A=0 B≠0)
④ 分式值为正或大于0：分子分母同号(A＞0且B＞0或A＜0且B＜0)
⑤ 分式值为负或小于0：分子分母异号(A＞0且B＜0或A＜0且B＞0)
⑥ 分式值为1：分子分母值相等(A=B)
⑦ 分式值为-1：分子分母值互为相反数(A+B=0)
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3、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：(其中A、B、C是整式，C≠0)
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
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拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：
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二、分式的运算
1、分式的约分
(1)定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
(2)步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
(3)注意：
①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
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2、最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
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3、分式的通分
①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
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4、最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
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5、确定最简公分母的一般步骤：
①取各分母系数的最小公倍数
②单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式
③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的
④保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取
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注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
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6、分式的四则运算与分式的乘方
①分式的乘除法法则：
分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为：
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② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：
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③分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
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④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
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注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)
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三、分式方程
1、分式方程的解的步骤：
(1) 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)
(2) 解整式方程，得到整式方程的解。
(3)检验。把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
①如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；
②如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
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2、产生增根的条件是：
①是得到的整式方程的解
②代入最简公分母后值为0
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3、列分式方程
基本步骤：
① 审—仔细审题，找出等量关系
② 设—合理设未知数
③ 列—根据等量关系列出方程(组)
④ 解—解出方程(组)，注意检验
⑤ 答—答题
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