人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就会猜想是否这类问题存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是非常著名的NP=P?的猜想。

提出人：P对NP问题，曾经是克雷数学研究所高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时也是计算机科学领域的最大难题，因为关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P对NP问题是Steve Cook于1971年首次提出。

"P/NP问题"：这里的P指多项式时间(Polynomial)，一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间(nondeterministic polynomial)，一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完全和NP-hard，比如围棋就是一个NP-hard问题。2010年8月7日，来自惠普实验室的科学家Vinay Deolalikar声称已经解决了"P/NP问题" ，并公开了证明文件。

难题解决：美国惠普实验室的数学家维奈·迪奥拉里卡围绕一个众所周知的NP问题进行论证，并且给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满足性问题(Boolean Satisfiability Problem)，即询问一组逻辑陈述是否能同时成立或者互相矛盾。迪奥拉里卡声曾经称，他已经证明，任何程序都无法迅速解答这个问题，因此，它不是一个P问题。

如果迪奥拉里卡的答案成立，说明P问题和NP问题是不同的两类问题，同时也意味着计算机处理问题的能力有限，很多任务的复杂性从根本上来说也许是无法简化的。

对于有些NP问题，包括因数分解，P≠NP的结果并没有明确表示它们是不能被快速解答的;但对于其子集NP完全问题，却注定了其无法很快得到解决。其中一个著名的例子就是旅行商问题(Travelling Salesman Problem)，即寻找从一个城市到另一个城市的最短路线，答案非常容易验证，不过，如果P≠NP，就没有计算机程序可以迅速给出这个答案。迪奥拉里卡的论文草稿已经得到了复杂性理论家的认可，但随后公布的论文终稿还将接受严格的审查。

二、霍奇(Hodge)猜想

提出人：霍奇猜想曾经是代数几何的一个重大的悬而未决的难题。它是由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。属于世界七大数学难题之一。

值得一提的是，霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。而黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题一直被世界称为21世纪七大数学难题。2000年5月，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美元求解。

霍奇猜想是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。

苏格兰数学家威廉·霍奇: 怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于一个代数周期? 无疑这是一个伟大的想法，仅仅是他不能证明。 我们有一个小的平滑的"空间"(在每个邻域类似于欧几里德空间，但在更大的规模上，"空间"是不同的)，这是由一群方程描述，使得这个空间具有均匀的维度。 然后我们获取基本的"拓扑"信息，并将其分解成更小的几何部分(由数字对标记)。几何部分内的理性东西被称为"Hodge循环"。 每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。 基本上我们有一个"桩"。我们仔细看看它，看看它是由许多"切碎的木材"组成。"切碎的木材"里面有"twigs"(霍奇循环)。霍奇猜想曾经断言，对于成堆的切碎的木材，树枝实际上是被称为原子(代数循环)的几何部分的组合。

难题解决：这个叫霍奇猜想的问题 ，假如用通俗的话说，就是"再好再复杂的一座宫殿，都可以由一堆积木垒成"。如果用文人的语言说就是: 任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。而在实际工作中，我们无法在二维平面的纸上绘画出来一种复杂的多维图形，霍奇猜想就是把复杂的拓扑图形分拆成为一个个构件，我们只要按照规则安装就可以理解设计者的思想。霍奇猜想提出不到100年，至今有了第一个例子 。

霍奇(Hodge)猜想， 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具，让数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜想曾经断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

三、庞加莱猜想

提出人：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的猜想，曾经是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，它将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。他1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。亨利·庞加莱的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。

世界上一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare): "有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。"

事实上，1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想: "任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。" 如果简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜想"。

假如你认为这个说法太抽象的话，下面不妨做这样一个想象: 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。

我们不妨再假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，十分结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设这个气球的皮是无限薄的。

接着，我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想: 假如我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是"单连通的"，而轮胎面不是。

看起来这是不是非常容易想明显? 事实上，数学可不是"随便想想"就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，并且绞尽脑汁、甚至于倾其一生还是无果而终。

难题解决：格里戈里·佩雷尔曼在花了8年时间研究这个差不多足有一个世纪的数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到arXiv.org这个专门刊登数学和物理预印本论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家，声称自己证明了几何化猜想。

到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成： "如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢-让他们去看吧。"佩雷尔曼说，"我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。"

佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金放到他那很微薄的收入中去。2006年，在佩雷尔曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识:佩雷尔曼解决了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。但是猜想的解决却触发了一场风波。

对于佩雷尔曼，很多人知之甚少。他是一位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他曾经以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。另外，他还是一名天才的小提琴家，并且桌球打得也相当出色。

从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末，他曾经到美国多所大学做博士后研究。之后又在斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。

证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于世界，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据有人介绍说，有一个记者想给他拍照，被他大声制止; 而对于大名鼎鼎的《自然》《科学》采访，他同样不屑一顾。

"我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。"佩雷尔曼说，"我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。"他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。

国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。无疑这可是全球数学界的最高荣誉，此前，全球共有44位数学家获此殊荣，世界上还没有人拒绝接受这个荣誉。但是，面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是"我拒绝。"他解释说:"如果我的证明是正确的，这种方式的承认是不必要的。"

四、黎曼假设

提出人：黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。

与费尔马猜想时相隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想经历了两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差很远，但它在数学上的重要性要远超过这两个知名度更高的猜想。

1932年，德国数学家C.L.Siegel整理的黎曼遗稿中给出了黎曼猜想的证明。文章的作者根据手稿中的一个结论性公式，直接推导出来ζ(s)函数在矩形区域的零点全部落在临界线上。

2018年9月24日，德国海德堡，著名数学家阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）在演讲时表示，自己已经证明了黎曼猜想。

黎曼猜想是黎曼1859年提出的，这位数学家于1826年出生在德国的布列斯伦茨小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为"论小于给定数值的素数个数"的论文。这篇仅仅有短短八页的论文最终成为黎曼猜想的"诞生地"。

事实上，黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就十分感兴趣的问题：即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，世界上的数学家们曾经付出了极大的精力，迄今为止却仍然未能彻底了解其中。

黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中，尤其是使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。

黎曼的文章的成果尽管重大，但文字却十分简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多"证明从略"的地方。而最要命的是，"证明从略"原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些"证明从略"的地方有些却花费了后世数学家们几十年的努力才最终得以补全，有些甚至直到今天仍然是空白。但黎曼的论文在为数不少的"证明从略"之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年"诞生"以来，已过了一百五十多年，在这期间，它就像一座高大的山峰，吸引了世界无数数学家前去攀登，但却谁也没能成功登顶。

难题解决：黎曼猜想由德国数学家黎曼(Bernard)于1859年提出，其中涉及了素数的分布，被认为是世界上最困难的数学题之一。荷兰三位数学家J.van de Lune，H.J.Riele te及D.T.Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。

1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。

1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No(T)>0.3474N(T)。1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No(T)>0.35N(T)。1932年C.L.Siegel发表的文章中 ，有下面这样一个公式:

文章的作者根据这个公式的几何意义以及cos函数的零点性质，直接推导出来No(T)=N(T)，即证明了区域内的零点全部落在临界线上。

C.L.Siegel从黎曼的遗稿中共整理出来四个公式，其中有三个公式在文献和教科书中经常出现 ，唯独上面这个公式，80多年来很少有文献提到它，就连C.L.Siegel 本人对于这个公式的作用也大惑不解。实际上，只要跳出解析数论来看黎曼手稿，就能清楚地看到，黎曼用复分析的几何思想严格的证明了现代所说的"黎曼猜想"。这也许是数学史上最大的冤案。

2016年11月17日，尼日利亚教授奥派耶米 伊诺克(Opeyemi Enoch)成功解决已存在156年的数学难题——黎曼猜想，获得100万美元(约合人民币630万元)的奖金。

2000年，美国克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)将黎曼猜想列为七大千年数学难题之一。2018年9月，迈克尔·阿蒂亚