已知 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+2 x+4 x^{2}}$, 则 $f^{(100)}(0)=?$
难度评级：
二、解析
本题是求解某个确定的一点处的高阶导数，很适合使用泰勒公式。
首先，由于无法将 $1+2 x+4 x^{2}$ 分解成一阶因式相乘的形式，因此，我们只能考虑将分子“升阶”的方式实现分子分母之间阶数的缩小：
$$f(x)=\frac{1}{1+2 x+4 x^{2}}=$$
$$\frac{1}{1+2 x+(2 x)^{2}}=$$
$$\frac{1 x(1-2 x)}{\left[1+2 x+(2 x)^{2}\right](1-2 x)}=$$
$$\frac{1-2 x}{1-4 x^{2}+4 x^{2}-(2 x)^{3}} \Rightarrow$$
$$f(x)=\frac{1-2 x}{1-(2 x)^{3}}=\frac{1}{1-(2 x)^{3}}-\frac{2 x}{1-(2 x)^{3}}$$
又根据麦克劳林公式可知：
$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$$
因此：
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n}-2 x \sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n} \Rightarrow$$
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n}-\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n+1} \tag{1}$$
同时，由于当 $x$ 的次幂小于 $100$ 时，求导 $100$ 次的过程中会变成零，而当 $x$ 的次幂大于 $100$ 时，求导 $100$ 次后还有没有被“消去”的 $x$ 存在，进而导致当 $x = 0$ 时，这部分式子也等于零——
也就是说，在求导 $100$ 次且 $x = 0$ 时，只有当原本 $x$ 的次幂是 $100$ 时才可以“幸存下来”。
在式子 (1) 中，由于 $3$ 无法被 $100$ 整除，因此，”$\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n}$” 中不可能出现 $x$ 的次幂为 $100$ 的情况，即 “$\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n}$” 将在求导 $100$ 且 $x = 0$ 的情况下“消失”。
同时，对于式子 (1) 中的 “$-\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n+1}$” 这部分而言，由于：
$$3 n+1=100 \Rightarrow 3 n=99 \Rightarrow n=33$$
因此：
$$f^{(100)}(0)=\left(-2^{100} \cdot x^{100}\right)^{(100)}= -2^{100} \cdot(100) !$$
当然，我们也可以采取下面的计算思路：
根据泰勒公式，我们有（当 $x = 0$ 时）：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n}-\sum_{n=0}^{\infty}(2 x)^{3 n+1} =$$$$f(x) = f(0) + x f^{\prime}(0) + \frac{x^{2} f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \cdots +$$$$\frac{x^{100} f^{(100)}(0)}{100!} + \frac{x^{101} f^{(101)}(0)}{101!} + \cdots$$
进而：$$f(x) = (2x)^{0} – (2x)^{1} + (2x)^{3} – (2x)^{4} + \cdots +$$$$(2x)^{99} \textcolor{orange}{- (2x)^{100} } + \cdots$$$$f(x) = f(0) + x f^{\prime}(0) + \frac{x^{2} f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \cdots +$$$$\textcolor{orange}{ \frac{x^{100} f^{(100)}(0)}{100!} } + \frac{x^{101} f^{(101)}(0)}{101!} + \cdots$$
接着：
$$f^{(100)}(0) = \textcolor{orange}{- (2x)^{100} } = \textcolor{orange}{ \frac{x^{100} f^{(100)}(0)}{100!} } \Rightarrow$$$$-2^{100} = \frac{f^{(100)}(0)}{100!} \Rightarrow$$$$f^{(100)}(0) = -2^{100} \cdot 100!$$
常用麦克劳林公式的求和版写法麦克劳林公式是泰勒公式在 $x = 0$ 处的展开情况。
（黄色部分是重点常用的麦克劳林公式）
$$\begin{align}& \textcolor{yellow}{ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} } \quad (-\infty