高考数学全国卷三角大题：2011~2022年

A组：入门级考题2011年理科数学大纲卷题17（本题满分10分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $A-C=90^{\circ}$ , $a+c=\sqrt{2} \, b$ , 求 $C$ .

参考答案：2011年理数大纲卷题17

2012年理科数学大纲卷题17（本题满分10分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\cos (A-C)+\cos B=1, a=2 c$ ，求 $C$ .

参考答案：2012年理数大纲卷题17

B组：体现函数思想的代表性问题2013年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $a = b \cos C+c \sin B$

（I）求 $B$ ；

（II）若 $b=2$ ，求 $\triangle ABC$ 的面积最大值.

参考答案：依葫芦画瓢学习「函数思想」

2020年全国卷二题17（本题满分12分）

$\triangle ABC$ 中， $\sin ^2 A - \sin ^2 B - \sin ^2 C = \sin B \sin C$ .

（1）求 $A$ ；

（2）若 $BC=3$ ，求 $\triangle ABC$ 周长的最大值.

2019年理科数学全国卷三题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $a \sin {\displaystyle\frac{A+C}{2} } = b \sin A$ .

（1）求 $B$ ；

（2）若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 1$ ，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围.

参考答案：2019年理数全国卷三题17

C组：用方程解答的代表性问题2015年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 中， $D$ 是 $BC$ 上的点， $AD$ 平分 $\angle BAC$ ， $\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 2 倍.

（I）求： $\displaystyle \frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}$

（II） $A D=1, D C=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ , 求 $BD$ 和 $AC$ 的长.

参考答案：如何列方程？

2013年理科数学全国卷一题17（本题满分12分）

如图，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ABC=90°, AB=\sqrt{3},BC=1,P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点， $\angle BPC=90°.$

（Ⅰ）若 $PB=\dfrac{1}{2}$ ，求 $PA$ ；

（Ⅱ）若 $\angle APB = 150°$ ，求 $\tan \angle PBA$ 。

参考答案：2013年理数全国卷一题17

D组：面积与周长2012年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 的对边， $a \cos C+\sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ .

（I）求 $A$ ；

（II）若 $a=2$ ， $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b,c$ .

参考答案：2012年理数全国卷二题17

2016年理科数学全国卷一题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $2 \cos C(a \cos B+b \cos A)=c$ .

（I）求 $C$ ；

（II）若 $c=\sqrt{7}$ ， $\triangle ABC$ 的面积为 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

参考答案：2016年理数全国卷一题17

2017年理科数学全国卷一题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\displaystyle\frac{a^{2}}{3 \sin A}$

（I）求 $\sin B \sin C$ ；

（II）若 $6 \cos B \cos C=1, a=3$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

参考答案：2017年理数全国卷一题17

2017年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\sin ( A+C ) = 8 \sin ^{2} \displaystyle\frac{B}{2}$

（I）求 $\cos B$ ；

（II）若 $a+c=6$ ， $\triangle ABC$ 的面积为 $2$ ，求 $b$ .

参考答案：2017年理数全国卷二题17

2017年理科数学全国卷三题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\sin A + \sqrt{3} \cos A=0, a=2 \sqrt{7}, b=2$ .

（1）求 $c$ ；

（2）若 $D$ 为 $BC$ 边上一点，且 $A D \perp A C$ ，求 $\triangle ABD$ 的面积.

参考答案：2017年理数全国卷三题17

2018年理科数学全国卷一题17（本题满分12分）

在平面四边形 $ABCD$ 中， $\angle A D C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ}, A B=2, BD=5$

（1）求 $\cos \angle ADB$ ；

（2）若 $D C=2 \sqrt{2}$ ，求 $BC$ .

E组：恒等变形2019年理科数学全国卷一题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，设 $( \sin B - \sin C ) ^2 = \sin ^{2} A-\sin B \sin C$

（1）求 $A$ ；

（2）若 $\sqrt{2} a + b = 2c$ ，求 $\sin C$ .

参考答案：2019年理数全国卷一题17

2012年理数福建卷题17（本题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

$(1) \sin ^{2} 13°+\cos ^{2} 17°-\sin 13° \cos 17°$

$(2) \sin ^{2} 15°+\cos ^{2} 15°-\sin 15° \cos 15°$

$(3) \sin ^{2} 18°+\cos ^{2} 12°-\sin 18° \cos 12°$

$(4) \sin ^{2}(-18°)+\cos ^{2} 48°-\sin (-18°) \cos 48°$

$(5) \sin ^{2}(-25°)+\cos ^{2} 55°-\sin (-25°) \cos 55°$

（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II）根据(I)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

F组：2021年后的考题2021年新高考1卷题19

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ . 已知 $b^2 =ac$ ，点 $D$ 在边 $AC$ 上， $BD \sin\angle ABC=a \sin C$ （1）证明： $BD=b$ ；

（2）若 $AD =2DC$ ,求 $\cos \angle ABC$ .

2021年新高考2卷题18

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ , $b=a+1,c=a+2$ .

（1）若 $2\sin C=3 \sin A$ , 求 $\triangle ABC$ 的面积.

（2）是否存在正整数 $a$ , 使得 $\triangle ABC$ 为钝角三角形? 若存在，求 $a$ ；若不存在，说明理由.

2022年全国乙卷题17

分值：12分

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\sin C \sin(A-B) = \sin B \sin(C-A)$ .

（1）证明： $2a^2=b^2+c^2$ ；

（2）若 $a=5$ ， $cosA=\dfrac {25}{31}$ ，求 $\triangle ABC$ 的周长.

2022年全国新高考1卷题18

分值：12分

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $\dfrac{\cos A}{1+\sin A} = \dfrac{\sin 2B}{1+\cos2B}$ （1）若 $C=\dfrac{2\pi}{3}$ ，求 $B$ ；

（2）求 $\dfrac{a^2+b^2}{c^2}$ 的最小值.

2022年全国新高考2卷题18

分值：12分

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ , 分别以 $a,b,c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_1,S_2,S_3$ . 已知 $S_1-S_2+S_3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin B= \dfrac{1}{3}$ .

(1)求 $\triangle ABC$ 的面积；

(2)若 $\sin A \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$ .

2022年全国新高考3卷题17

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ ，且 $b\sin C=\sin C +\sqrt{3}\cos C$ , $A=\dfrac{\pi}{3}$ .

（1）求 $c$ ；

（2）在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由.

① $BC$ 边上的中线长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，

② $AB$ 边上的中线长为 $\sqrt{7}$ ，

③ 三角形的周长为 $6$ .

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高考数学全国卷三角大题：2011~2022年

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