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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计解答题目录题型一：二项式定理题型二：事件的频率与概率题型三：随机变量的分布列与期望、方差题型四：概率统计中的决策建议题型五：简单的随机抽样与用样本估计总体题型六：相关关系与回归分析题型七：独立性检验题型八：概率统计综合应用题型一：二项式定理(2019·江苏·第24题)1．设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.(2016高考数学江苏文理科·第26题)2．（1）求的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.题型二：事件的频率与概率(2022新高考全国I卷·第20题)3．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好 良好病例组 40 60对照组 10 90(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8284．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第19题)5．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.(2019·全国Ⅱ·理·第18题)6．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.7．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95．(1)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；(2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）．(2019·天津·理·第16题)8．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.题型三：随机变量的分布列与期望、方差(2022年高考全国甲卷数学(理)·第19题)9．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．(2021高考北京·第18题)10．在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E(X).(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)(2019·江苏·第25题)11．在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.(2014高考数学陕西理科·第21题)12．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg) 300 500概率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概率 0.4 0.6（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.(2014高考数学重庆理科·第18题)13．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列．（注：若三个数，，满足，则称为这三个数的中位数）(2023年新课标全国Ⅰ卷·第21题)14．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．(2020江苏高考·第25题)15．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．(2014高考数学课标1理科·第18题)16．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，．(2014高考数学四川理科·第17题)17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.(2014高考数学山东理科·第18题)18．乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域 .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在 上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为，在 上的概率为；对落点在 上的来球，小明回球的落点在上的概率为 ，在上的概率为 .假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.19．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．(2014高考数学江西理科·第22题)20．随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；（3）对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由．(2014高考数学湖南理科·第17题)21．某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.(2014高考数学湖北理科·第20题)22．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和． 单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系年入流量发电量最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？(2014高考数学江苏·第25题)23．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为，随机变量表示的最大数，求的概率分布和数学期望.24．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1) 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2) 商场对奖励总额的预算是6000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由(2014高考数学大纲理科·第20题)25．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.(2014高考数学北京理科·第16题)26．李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）(2014高考数学安徽理科·第17题)27．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.(2015高考数学重庆理科·第17题)28．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有个粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白粽个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取个．（）求三种粽子各取到个的概率．（）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页参考答案：1．（1）；（2）-32.【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，．因为，所以，解得．（2）由（1）知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.2．（1）0（2）详见解析【详解】试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的 ，而且可由（1）归纳出的 ；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数 ，从而达到化简求证的目的.试题解析：解：（1）（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此【考点】组合数及其性质【名师点睛】组合数的性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.3．(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)；【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.【详解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以4．(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【详解】（1）由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X 0 1 2 3P∴（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.5．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为，所以，需要进行第五场比赛的概率为；（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲赢的概率为.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为.【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.6．（1）；（2）0.1【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．7．(1)；(2).【分析】（1）根据已知条件，结合独立重复试验下事件的概率计算公式求解即可；（2）根据对立事件的概率计算公式，先求得都是次品的概率，再求解即可.【详解】（1）根据题意，从甲机床生产的产品中任取3件，恰有2件为正品，则1件为次品，故其概率为：.（2）因为甲乙机床生产产品相互独立，故从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，都是次品的概率为，故其对立事件至少有1件正品的概率为：.8．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从面.所以，随机变量的分布列为：0 1 2 3随机变量的数学期望.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.且.由题意知事件与互斥，且事件与，事件与均相互独立，从而由(Ⅰ)知：.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.9．(1)；(2)分布列见解析，.【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为．（2）依题可知，的可能取值为，所以，,，，.即的分布列为0 10 20 300.16 0.44 0.34 0.06期望.10．（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，可以取20，30，，，则的分布列:所以；（2）由题意，可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则.11．（1）见解析；（2）【分析】(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论①.，②.，③.，④.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定的值.【详解】（1）当时，的所有可能取值是．的概率分布为，．（2）设和是从中取出的两个点．因为，所以仅需考虑的情况．①若，则，不存在的取法；②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．综上，当时，的所有可能取值是和，且．因此，．【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．12．（1）分布列见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）设表示事件“作物产量为300”，表示事件“作物市场价格为6元”由题设得4000，2000,800，结合概率公式计算出对应的概率，得出分布列；（2）设表示事件“第季利润不少于2000元”，由题意知：相互独立，由（1）知，3季利润均不少于2000元的概率为:，3季中有2季利润不少于2000元的概率为：，根据互斥事件概率的加法公式得：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：试题解析：（1）设表示事件“作物产量为300”，表示事件“作物市场价格为6元”由题设知：，因为利润=产量市场价格-成本所以所以可能的取值为，，,,,所以的分布列为4000 2000 8000.3 0.5 0.2（2）设表示事件“第季利润不少于2000元”，由题意知：相互独立，由（1）知3季利润均不少于2000元的概率为:3季中有2季利润不少于2000元的概率为：所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：考点：离散型随机变量的分布列和期望；互斥事件的概率.13．（1）（2）见解析【解析】（1）首先理解是古典概型的概率，先求出基本事件的总数，再求出所研究事件包含基本事件的个数，然后代入古典概型概率计算公式求解.（2）按卡片上的数字相同和不同两类进行分析，得到的所有可能值为1，2，3，然后分别计算出每随机变量所对应事件的概率，列出分布列即可.【详解】（1）由古典概型的概率计算公式知所求概率为.（2）的所有可能值为1，2，3，且，，.故的分布列为1 2 3【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法和离散型随机变量的分布列，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.14．(1)(2)(3)【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，.（2）设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．（3）因为，，所以当时，，故．【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．15．（1）（2）【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1），，.（2），，因此，从而，即.又的分布列为0 1 2故.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.16．（I）；（II）（i）；（ii）．【详解】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，．（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而．（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．17．（1）；（2）；（3）每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少.【详解】试题分析：（1）本题属于独立重复试验问题，利用即可求得的分布列；（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为.“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的对立事件是“玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐”由此可得“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”的概率；（3）试题解答：（1）.所以的分布列为X -200 10 20 100（2）玩一盘游戏，没有出现音乐的概率为，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为.（3）由（1）得：，即每盘所得分数的期望为负数，所以玩得越多，所得分数越少的可能性更大.【考点定位】1、随机变量的分布列；2、独立重复事件的概率；3、统计知识.18．（I）小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.（II）机变量的分布列为：数学期望【详解】试题分析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）则，记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）则，记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，由题意，，由事件的独立性和互斥性，即可得到小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率.（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得可得随机变量的分布列为：利用数学期望的计算公式得到试题解析：（I）记为事件“小明对落点在A上的来球的得分为分”（ ）则，记为事件“小明对落点在B上的来球的得分为分” （ ）则，记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”，由题意，，由事件的独立性和互斥性，,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.（II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得,,,,,,可得随机变量的分布列为：所以数学期望考点：随机变量的分布列与数学期望，互斥事件、独立事件的概率.19．(1)0.108.(2) 1.8，0.72.【详解】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出，，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此...（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为,,,,分布列为X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.20．（1）2 3 4 5P（2）当时，，当时（3）当时，当时，【详解】试题分析：（1）当时，将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所有可能值为2,3,4,5.对应组数分别为4,6,6,4，对应概率为，，，，（2）和恰好相等的所有可能值为当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；当和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；以此类推：和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）先归纳：当时，因此当时，即证当时，这可用数学归纳法证明. 当时，，利用阶乘作差可得大小.试题解析：（1）当时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A,B两组，不同的分组方法共有种，所以的分布列为2 3 4 5P（2）和恰好相等的所有可能值为又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种；所以当时，当时（3）由（2）当时，因此而当时，理由如下：等价于①用数学归纳法来证明：当时，①式左边①式右边所以①式成立假设时①式成立，即成立那么，当时，①式左边=①式右边即当时①式也成立综合得，对于的所有正整数，都有成立考点：概率分布及数学期望，概率，组合性质，数学归纳法21．(1) (2)详见解析【详解】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:;;;;所以的分布列如下:则数学期望.考点：分布列 数学期望 概率22．(1)(2)2【分析】（1）根据题意先计算出，，，再由独立重复试验的概率公式求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）记水电站年总利润为，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，从而得到应安装几台发电机.【详解】（1）依题意可得，，，，记在未来年中，至多有年入流量超过为事件，所以．（2）记水电站年总利润为(单位：万元)，①安装台发电机的情形．由于水库年入流量总大于，所以一台发电机运行的概率为，对应的年利润，且．②安装2台发电机．当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此．由此可得的分布列如下：4200 10000所以．③安装3台发电机．依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，此时，当时，三台发电机运行，此时，因此，由此可得的分布列如下：所以．因为，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机台．23．（1）；（2）分布列见解析，.【详解】试题分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．试题解析：解：（2）X的可能取值为2，3，4考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.古典概型及其概率计算公式．24．(1)①，②分布列见解析，40(2)设计见解析，理由见解析【分析】(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.由获得60元的事件数除以总的事件数即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.(2) 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.根据题意有两种获奖励的情况,确定符合题意的方案,分别仅有一种.再分别计算出两种方案相应的概率以及求出数学期望和方差.即可得到结论.【详解】（1）设顾客获得的奖励额为．①依题意，得，即顾客所获的奖励额为60元的概率是．②依题意，随机变量的可能取值为．．得的分布列如下：所以顾客所获的奖励额的期望为（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元．所以，先寻找期望为元的可能方案：当球的面值为元和元时，若选择方案，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；若选择方案，因为元是面值之和的最小值，所以期望也不可能是．因此可能的方案是，记为方案．当球的面值为元和元时，同理可排除、的方案，所以可能的方案是，记为方案．以下是对两个方案的分析：对于方案，即方案，设顾客所获的奖励额为，的可能取值为．得的分布列如下：的期望为的方差为对于方案，即方案，设顾客所获得奖励额为，的可能取值为．得的分布列如下：的期望为的方差为由于两种方案奖励额的期望都符合要求，但方案奖励额的方差要比方案的小，所以应该选择方案，即标有面值元和面值元的球各两个．25．(1)；(2)2.【分析】（1）表示同一工作日乙、丙恰有()人需使用设备，；表示甲需使用设备；表示丁需使用设备；表示同一工作日至少3人需使用设备．将分解为互斥事件的和，再利用互斥事件的概率加法公式计算；（2）的可能取值为0，1，2，3，4，先求，最后利用离散型随机变量数学期望公式求的值．【详解】（1）记表示同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示甲需使用设备；表示丁需使用设备；表示同一工作日至少3人需使用设备．，又.（2）的可能取值为0，1，2，3，4．，，，，，数学期望26．（1）0.5；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）根据表中数据，在10场比赛中，李明投篮命中超过0.6的场次有5场，利用古典概型公式求解；（2）设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则，事件、独立，利用独立事件、互斥事件的概率公式求解；（3）用公式分别计算、再比较大小.（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则，事件、独立，根据投篮统计数据，，，.所以，在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.（3）.考点：概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率.27．（1）；（2）.【分析】（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意的可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，再利用均值公式计算即可.【详解】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，..（2）的可能取值为.，，.故的分布列为2 3 4 5所以.考点：1.概率的求解；2.期望的求解.28．(1) ;(2)见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望试题解析：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P（A）＝＝.（2）X的可能取值为0,1,2，且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝综上知，X的分布列为：X 0 1 2P故E（X）＝0×＋1×＋2×＝ （个）考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式答案第1页，共2页答案第1页，共2页

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