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（4）三角函数及解三角形——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，4】下列区间中，函数单调递增的区间是()A.B.C.D.2.【2021年全国乙卷(文)，4】函数的最小正周期和最大值分别是()A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和23.【2021年新高考Ⅰ卷，6】若，则()A.B.C.D.4.【2021年全国乙卷(文)，6】()A.B.C.D.5.【2021年全国乙卷(理)，7】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则()A.B.C.D.6.【2021年全国甲卷(理)，8】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰髙程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，满足，.由C点测得B点的仰角为15°，与的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面的高度差约为（）()A.346B.373C.446D.4737.【2021年全国甲卷(文)，8】在中，已知，，，则()A.1B.C.D.38.【2021年全国乙卷(理)，9】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高()A.B.C.D.9.【2021年全国甲卷(理)，9】若，，则()A.B.C.D.10.【2021年全国甲卷(文)，15】已知函数的部分图象如图所示，则___________.11.【2021年全国乙卷(理)，15】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则_____________.12.【2021年全国甲卷(理)，16】已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为___________.13.【2021年北京卷，16】已知在中，，.（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度.①；②周长为；③面积为；14.【2021年新高考Ⅱ卷，18】在中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，，.（1）若，求的面积.（2）是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.15.【2021年新高考Ⅰ卷，19】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，点D在边AC上，.(1)证明：；(2)若，求.答案以及解析1.答案：A解析：本题考查三角函数的单调性，熟记三角函数的单调区间是解决此类问题的关键.因为，所以，解得，只有A项符合.2.答案：C解析：本题考查三角函数的化简与性质.由三角函数，得其最小正周期为，最大值为.3.答案：C解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为，所以.4.答案：D解析：.5.答案：B解析：本题考查三角函数图象的伸缩变换和平移变换、三角函数的解析式.根据题目条件逆向思维，把函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得，即.6.答案：B解析：本题考查空间几何体、三角变换、正弦定理.由题意可知.在中，由正弦定理可知，则，过B点作于点M，易得，则.7.答案：D解析：本题考查三角形及余弦定理.由于，，，根据余弦定理，可得，则有，即，解得或（舍去）.8.答案：A解析：本题考查数学文化、解三角形问题.如图所示，连接FD并延长交AB于点M，设，，则有，而.又，，所以，则有，所以.9.答案：A解析：本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式.由，，，得，所以，由，故.10.答案：解析：本题考查三角函数的图象与性质、三角函数值的求解.由图象可得，函数的周期，故，所以，结合，取满足条件的一个，则有，故.11.答案：解析：本题考查解三角形的应用.由三角形的面积公式得，解得.又，由余弦定理，得，所以.12.答案：2解析：本题考查三角函数的图象、性质，不等式.由已知可知的周期T满足，故，.由，可令.故，所以，，原不等式化为，可得或.结合图象，若x取正数，①当时，，此时没有满足条件的正整数；②当时，，此时满足条件的最小正整数为2.13.答案：（1）由正弦定理，得，故（舍）或，故；（2）由（Ⅰ）知，，故不能选①.选②，设，则，故周长为，解得，即，，设BC中点为D，则在中，由余弦定理，，解得.选③，设，则，故，解得，即，，设BC中点为D，则在中，由余弦定理，，解得.14.答案：（1）由正弦定理知，联立，解得则.由余弦定理可知.因为，所以，则的面积为.（2）因为，所以，所以若存在正整数a，使得为钝角三角形，只需角C为钝角，所以只需满足，即，则，化简得，解得.因为a为正整数，所以a可取1，2.当时，的三边的长度分别为1，2，3，此时不满足三角形的三边关系，即该三角形不存在；当时，的三边的长度分别为2，3，4满足题意.因此当时，为钝角三角形.15.答案：（1）在中，.①因为，所以，②联立①②得，即.因为，所以.（2）由（1）知，因为，所以，.在中，，在中，.因为，所以，即.因为，所以，即或.在中，，当时，（舍去）；当时，.综上所述，.
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