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(4)三角函数及解三角形——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷,4】下列区间中,函数单调递增的区间是()A.B.C.D.2.【2021年全国乙卷(文),4】函数的最小正周期和最大值分别是()A.3π和B.3π和2C.6π和D.6π和23.【2021年新高考Ⅰ卷,6】若,则()A.B.C.D.4.【2021年全国乙卷(文),6】()A.B.C.D.5.【2021年全国乙卷(理),7】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图象,则()A.B.C.D.6.【2021年全国甲卷(理),8】2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰髙程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影,,满足,.由C点测得B点的仰角为15°,与的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面的高度差约为()()A.346B.373C.446D.4737.【2021年全国甲卷(文),8】在中,已知,,,则()A.1B.C.D.38.【2021年全国乙卷(理),9】魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高()A.B.C.D.9.【2021年全国甲卷(理),9】若,,则()A.B.C.D.10.【2021年全国甲卷(文),15】已知函数的部分图象如图所示,则___________.11.【2021年全国乙卷(理),15】记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则_____________.12.【2021年全国甲卷(理),16】已知函数的部分图象如图所示,则满足条件的最小正整数x为___________.13.【2021年北京卷,16】已知在中,,.(1)求B的大小;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.①;②周长为;③面积为;14.【2021年新高考Ⅱ卷,18】在中,角A,B,C所对的边长为a,b,c,,.(1)若,求的面积.(2)是否存在正整数a,使得为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.15.【2021年新高考Ⅰ卷,19】记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,点D在边AC上,.(1)证明:;(2)若,求.答案以及解析1.答案:A解析:本题考查三角函数的单调性,熟记三角函数的单调区间是解决此类问题的关键.因为,所以,解得,只有A项符合.2.答案:C解析:本题考查三角函数的化简与性质.由三角函数,得其最小正周期为,最大值为.3.答案:C解析:本题考查三角函数的化简与计算.因为,所以.4.答案:D解析:.5.答案:B解析:本题考查三角函数图象的伸缩变换和平移变换、三角函数的解析式.根据题目条件逆向思维,把函数的图象向左平移个单位长度,可得,再将图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,可得,即.6.答案:B解析:本题考查空间几何体、三角变换、正弦定理.由题意可知.在中,由正弦定理可知,则,过B点作于点M,易得,则.7.答案:D解析:本题考查三角形及余弦定理.由于,,,根据余弦定理,可得,则有,即,解得或(舍去).8.答案:A解析:本题考查数学文化、解三角形问题.如图所示,连接FD并延长交AB于点M,设,,则有,而.又,,所以,则有,所以.9.答案:A解析:本题考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式.由,,,得,所以,由,故.10.答案:解析:本题考查三角函数的图象与性质、三角函数值的求解.由图象可得,函数的周期,故,所以,结合,取满足条件的一个,则有,故.11.答案:解析:本题考查解三角形的应用.由三角形的面积公式得,解得.又,由余弦定理,得,所以.12.答案:2解析:本题考查三角函数的图象、性质,不等式.由已知可知的周期T满足,故,.由,可令.故,所以,,原不等式化为,可得或.结合图象,若x取正数,①当时,,此时没有满足条件的正整数;②当时,,此时满足条件的最小正整数为2.13.答案:(1)由正弦定理,得,故(舍)或,故;(2)由(Ⅰ)知,,故不能选①.选②,设,则,故周长为,解得,即,,设BC中点为D,则在中,由余弦定理,,解得.选③,设,则,故,解得,即,,设BC中点为D,则在中,由余弦定理,,解得.14.答案:(1)由正弦定理知,联立,解得则.由余弦定理可知.因为,所以,则的面积为.(2)因为,所以,所以若存在正整数a,使得为钝角三角形,只需角C为钝角,所以只需满足,即,则,化简得,解得.因为a为正整数,所以a可取1,2.当时,的三边的长度分别为1,2,3,此时不满足三角形的三边关系,即该三角形不存在;当时,的三边的长度分别为2,3,4满足题意.因此当时,为钝角三角形.15.答案:(1)在中,.①因为,所以,②联立①②得,即.因为,所以.(2)由(1)知,因为,所以,.在中,,在中,.因为,所以,即.因为,所以,即或.在中,,当时,(舍去);当时,.综上所述,.
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