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五、圆锥曲线——三年（2021-2023）高考数学创新真题精编1. 【2023年上海卷】已知曲线，第一象限内的点A在上，设A的纵坐标是a.(1)若点A到的准线的距离为3，求a的值；(2)若，B为x轴上一点，线段AB的中点在上，求点B的坐标和坐标原点O到直线AB的距离；(3)设直线，P是第一象限上异于A的一点，直线AP交直线l于点Q，点H是点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围.2. 【2023年天津卷】已知椭圆的左、右顶点分别为，.右焦点为F，已知，.(1)求椭圆的方程和离心率e；(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交y轴于点Q，若的面积是面积的二倍，求直线的方程.3. 【2022年新高考Ⅱ卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②；③.4. 【2021年全国甲卷文科】抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交C于P，Q两点，且.已知点，且与l相切.（1）求C，的方程.（2）设，，是C上的三个点，直线，均与相切.判断直线与的位置关系，并说明理由.5. 【2021年全国甲卷理科】已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.（1）求p.（2）若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.6. 【2021年新高考Ⅰ卷】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足，记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.7. 【2021年新高考Ⅱ卷】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是.8. 【2021年北京卷】已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交于点M，直线AC交于点N，若，求k的取值范围.9. 【2021年上海卷】已知，，是其左右焦点，，直线l过点P交于A，B两点，点在x轴上方，其中A在线段BP上.（1）若B是上顶点，，求m；（2）若，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（3）证明：对于任意，总存在唯一一条直线使得.答案以及解析1.答案：(1)(2)(3)解析：(1)由题意，的准线方程为，，则，得.又，.(2)由题意知，，设，则AB中点的坐标为，代入，得，，点B的坐标为.则直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即.坐标原点O到直线AB的距离为.(3)由题意知，，设，则，直线AP的斜率，直线AP的方程为，.恒成立，即恒成立.当时，由得，则恒成立；当，即时，恒成立.综上，a的取值范围是.2.答案：(1)椭圆的方程为，离心率(2)解析：(1)如图，由題意可知，故，则，所以椭圆的方程为，此椭圆的离心率.(2)由题易知直线的斜率存在且不为0，所以可设直线的方程为.由，可得，设，则由根与系数的关系可知，即，则.由直线交y轴于点Q可得，所以，，因为，所以，①当时，，即有，解得，不符合题意，舍去.②当时，，即有，解得.故直线的方程为.3、（1）答案：解析：由题意得，，解得，，所以双曲线C的方程为.（2）答案：见解析解析：设直线PQ的方程为，由题意知.由得.，故，故，，.设，则，，于是，.因为，，所以，.因此，.因此点M的轨迹方程为.选择①②作为条件，证明③成立.由可得直线AB的方程为.点M的坐标满足，解得，.设，，，.由，解得，.同理可得，.于是，.因此点M为AB的中点，即.选择①③作为条件，证明②成立.当直线AB的斜率不存在时，点M与点重合，此时点M不在直线上，矛盾.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，.由，解得，.同理可得，.于是，.因为点M在直线上，所以，即.因此.选择②③作为条件，证明①成立.由可得直线AB的方程为，设，，，.由，解得，.同理可得，.设AB的中点为，则，.因为，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线上.由，得，，即M恰为AB的中点.因此点M在直线AB上.4.答案：（1）由题意，直线与C交于P，Q两点，且，设C的焦点为F，P在第一象限，则根据抛物线的对称性，，所以，.设C的方程为，则，得，所以C的方程为.因为圆心到l的距离即的半径，且距离为1，所以的方程为.（2）设，，，当，，中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线与相切.当时，直线，则，即，同理可得，所以，是方程的两个根，则，.直线的方程为，设点M到直线的距离为，则，即，所以直线与相切.综上所述，直线与相切.5.答案：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得.（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，设切点，，直线PA的方程为，又点在抛物线上，所以，所以，同理可得，，联立从而得到.设，联立消去y并整理可得，所以，即，且，，所以.因为，点P到直线AB的距离，所以①，又点在圆上，代入得，代入①得，，而，所以当时，.6.答案：（1）因为，所以轨迹C为双曲线右半支，设C的方程为，所以解得所以C的方程为.（2）设，，，设直线，联立整理得，所以，，，，所以.设直线，同理可得，，因为，所以，化简得.因为，所以，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.7.答案：（1）由题意得，，可得，从而，所以椭圆C的方程为.（2）设，，若轴，由MN与相切可知，直线MN的方程为，不过点F，不合题意，所以MN的斜率必存在且不为0.设直线MN的方程为.由直线MN与相切知，即.将与椭圆方程联立，消去y，化简得，.由根与系数的关系得，，所以.又，所以.（*）若点M，N，F共线，则，即.又，所以，代入（*）式可得.反之，若，则，即，整理得，又，所以.又曲线为右半圆，则m与k异号，所以，或，，即MN的方程为或，经检验，都经过点F，所以M，N，F三点共线的充要条件是.8.答案：（1）因为椭圆E过点，故，又因为以四个顶点围成的四边形面积为，所以，联立，解得，故椭圆E的标准方程为.（2）由题可知，直线l的斜率存在，且直线l的方程为，设，.联立，消y整理得，，故或，由韦达定理可得，，，，直线AB的方程为，令，则，故，直线AC的方程为，令，则，故，因为，所以同号，因为，所以同号，所以，所以，即，解得.综上，k的取值范围为.9.答案：(1)若B为上顶点，则，因为，，，所以.(2)设点，则，因为A在线段BP上，横坐标小于0，所以解得，所以.设直线l的方程为，由原点O到直线l的距离为可得：，化简得，解得或，所以直线l的方程为或(舍去，无法满足)，故直线l的方程为.(3)联立直线与椭圆方程得，设，，则，.因为，所以，而，所以化简可得.而，两边同时平方化简得，整理可得，当时，，而点A，B在x轴上方，所以k有且仅有一个解，所以对于任意，使得的直线有且仅有一条.
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