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高考数学三年（2022-2024）真题精编卷专题六 平面解析几何 参考答案1.答案：A解析：设M x0 , y0 ，则P x0 , 2y0 ，因为点 P在曲线 C上，所以2 2x202y2 x0 y0016y00 ，即1 y00 ，所以线段PP 的中点 M的轨迹16 4x2 y2方程为1(y0)，故选 A.16 42.答案：A2解析：由椭圆C a 1 31的方程知离心率 e1，由椭圆C2的方程知 e2.a 23 a2 1 4又 e23e1，即3，化简得 a24a24， a2， a 1，2 a 3 a 2 3 .故选 A.33.答案：B解析：由 x2y24x 1 0，得 (x2)2y 25，所以圆心坐标为 (2,0)，半径r5，所以圆心到点 (0, 2)的距离为 (2 0)2(0 2)22 2 .如图，由于圆心(0, 2)r 5 106与点的连线平分角，所以 sin，所以 cos，2 2 2 2 2 4 2 4sin 2sin cos 2 10 6 15所以.故选 B.2 2 4 4 4数学·参考答案 第 1页（共 21页）4.答案：C解析：设直线 yx m与 x轴交于点M ( m, 0)，直线方程与椭圆方程联立得4x2 2mx m2 1 0，(2m)24 43 m2 10，解得 2 m2 .3设F1( 2,0)，F2 ( 2,0)到直线 AB的距离分别为d1， d2，由题意得，2 1| AB | 1 d2 | AB | d1，所以 d12d2 .由三角形相似可得，2 2d1 F1M |2 m | 2 m 2，解得 或m3 2 .因为 2 m2，所以d2 F2M | 2 m | 3m 2，故选 C.35.答案：ABD解析：对于 A，易知 l : x1，故 l与 A相切，A正确；对于 B，A(0, 4)， A的半径 r 1，当 P，A，B三点共线时，P(4,4)，所以 | PA | 4，| PQ | | PA |2 r 242 1215，故 B正确；对于 C，当 | PB | 2时，P(1, 2)， B( 1,2)或 P(1, 2)，B( 1, 2)，易知 PA与 AB不垂直，故 C错误；对于 D，记抛物线 C的焦点为 F，连接 AF，PF，易知 F (1,0)，由抛物线定义可知 | PF | | PB |，因为 | PA | | PB |，所以 | PA | | PF |，所以点 P在线段 AF的中垂1 15 15线上，线段 AF的中垂线方程为 yx，即 x4y，代入 y24x可得4 8 2y2 16y300，解得 y8 34，易知满足条件的点 P有且仅有两个，故 D正确.故选 ABD.6.答案：ABD解析：因为坐标原点 O在曲线 C上，所以 2 | a | 4，又a0，所以 a2，所以 A正确.因为点 (2 2,0)到点F (2,0)的距离与到定直线 x2的距离之积为数学·参考答案 第 2页（共 21页）(2 22)(2 22)4，所以点 (2 2,0)在曲线 C上，所以 B正确.设 P(x, y)（ x0，y0）是曲线 C在第一象限的点，则有 (x2)2y2 (x2)4，y2 16 2 16所以2(x2) ，令 f (x) (x2)2，则(x2) (x2)2f (x) 3232(x2)，因为 f (2) 1，且 f (2)0，所以函数 f (x)在 x2附(x2)近单调递减，即必定存在一小区间 (2, 2 )使得 f (x)单调递减，所以在区间(2, 2)上均有 f (x) 1，所以 P(x, y)纵坐标的最大值一定大于 1，所以 C错误.因为点 x 20 , y0 在 C上，所以 x02且 x02y20 x024，得y2 16 x2 2 160，所以 yy16 4，所以 D x2 2 0x 2 2 0 0x2 2 x20 0 0 0正确.综上，选 ABD.7.答案：ACD解析：由 | AF | | AM | x xFx，可知M 3Ap .代入 y22px y 6，得p（负2 4 A 2值已舍去）. k yAABp2 6，直线 AB的方程为 y2 6x6p .联立xA2 y2 6x6p, p22 2 p ，得 24x 26 px 6 p0，则 xAxB，得 xB，则 2 y2px, 4 3y 6

p . A 3 p, 6 p B p , 6

B 故 ， p， F p, 0 ，M ( p,0) .选项 A，34 2 3 3 2 6 pk 2 7 pAF3 p2 6k2 2AB ，故正确.选项 B，|OB | xByBp，故错误.p3 24 2选项 C， | AB | xAx25Bpp2p4 |OF |，故正确.选项 D，易得123 6 OA p, p OB p , 6

p MA p 6 2 6 ， ， , p ，MB p, p . 4 2

3 3 4 2 3 3 数学·参考答案 第 3页（共 21页） 2因为OA p 3 OB p 2 p 20，所以 AOB为钝角.4 4 2因为MA MB p 5p 2 p 20，所以 AMB为钝角，所以6 6 OAMOBM 180 ，故正确.选 ACD.8. 3答案：2| AB | | AB |解析：法一：由 10及双曲线的对称性得 AF2 5，因为 AF1 13，2所以2aAF1AF2 13 58，2cF2 2 2 21F2AF1AF213 5 12，所以a4，c6，则 C c 6 3的离心率 e.a 4 22b2 b2 c2 a2法二：因为 | AB | 10，所以 10，所以 5，又 AF1 13，所以a a a2F1F22c AF2| AB | 21212，得c6，所以 a5a 360，得a4，所

C c 6 3以 的离心率 e.a 4 29. 1答案：2（答案不唯一，可以是 ， 2中任意一个）2解析：设直线 x my 1 0为直线 l，由条件知 C的圆心C(1,0)，半径R2，C2l d 2 24 |m |到直线 的距离， AB2 R2d 22 4 22 .由1 m1 m1 m2S 8 1 4 |m | 2 8△ABC，得，整理得 2m2 5 |m | 20，解得m25 2 1 m2 1 m2 5或m 1，故答案可以为 2.210. 3 5答案：5解析：法一：建立如图所示的坐标系，依题意设 F1( c,0)， F2 (c,0)，B(0,n) .数学·参考答案 第 4页（共 21页） 25 2由 F2A F

2B，得 A c, n

. 8 2 又F1A F1B，且 F1A c, n ，F1B(c,n)，33 3 3 3

F A 8 2 8 2则 1 F1B 2 2 2 2 c, n (c,n)cn0，所以 n4c . 3 33 325 c2 4 n2 25c2 4n2又点 A在双曲线 C上，则 992 21，整理得 229，a b a b2 2 2将 n24c2 ，b2c2a2 25c 16c 16e 9代入，得 2 9，即 25e2 9，解得 e2 a c2a2 e2 1 5e2 1 e 3 5或（舍去），故.5 5 2F A法二：由 F2A F2B得2 2 ，设 F2A2x，则 F2B3x， | AB | 5x .3 F2B 3由双曲线的对称性可得 F1B3x，由双曲线的定义可得 AF12x2a .设 F1AF2 ，则 sin 3x 3 4 2x2a，所以 cos ，解得 xa，所以5x 5 5 5x2 2 2AF14a，AF2a .16a4a 4c 42 在△AF1F2中，由余弦定理可得 cos16a2 ，5即5c29a2 3 5，可得 e.511. 1 3 答案：, 3 2解析：法一：由题意知点 A( 2,3)关于直线 ya的对称点为 A ( 2,2a 3)，所以k 3 a 3 aA B，所以直线 A B的方程为 yxa，即 (3 a)x2y2a0 .2 2数学·参考答案 第 5页（共 21页）由题意知直线 A B与圆 (x 3)2(y2)2 1有公共点，圆心为 ( 3, 2)，半径为 1，| 3(3 a)( 2) ( 2)2a |所以 1，整理得6a2 11a 1 3 30，解得a，所(3 a)2( 2)2 3 2 1 3 以实数 a的取值范围是 , . 3 2法二：(x 3)2(y2)2 1关于 y轴对称的圆的方程为 (x 3)2(y2)2 1，由题a 3意知该对称圆与直线 AB有公共点.直线 AB的方程为 yxa，即2(a 3)x2y2a0，又对称圆的圆心为 (3, 2)，半径为 1，所以| 3(a 3)( 2) ( 2)2a | 1，整理得6a2 11a30 1 3，解得a，所以实(a 3)2( 2)2 3 2 1 3 数 a的取值范围是,. 3 2 法三：(x 3)2(y2)2 1关于 y轴对称的圆的方程为 (x 3)2(y2)2 1，由题意知该对称圆与直线 AB有公共点.设直线 AB的方程为 y 3k(x2)，即kxy 3 2k 0 | 5k5 | ，因为对称圆的圆心为 (3, 2)，半径为 1，所以 1，k 2( 1)24 k 3 k a 3 4 a 3 3 1 3解得，又，所以，解得a，所以实3 4 2 3 2 4 3 2a 1 3 数 的取值范围是, 3 2 .

12.答案：13解析：设F1为椭圆 C的左焦点.如图，连接 AF1，DF2， EF2 .因为椭圆的离心率1 2 2为 ，所以a2c，所以椭圆 C x y的方程为 21，且△AF2 4c 3c2 1F2为等边三角形，则直线 DE的斜率 k 3 .3数学·参考答案 第 6页（共 21页）由直线 DE垂直平分线段 AF2得，| AD | DF2 ，| AE | EF2 ，则△ADE的周长等价于 |DE |DF2EF2DF1DF2EF1EF24a .3设D x1, y1 ，E x2 , y2 ，又直线 DE的方程为 y(xc)，与椭圆方程联立得3213x2 8cx 32c2 0 x x 8c x x 32c ，则 12 ， .由弦长公式13 1 2 13|DE | k 2 1x 2 21x2k 1x1x2 4x1x2 ，得| DE | 1 8c21 128c2 48c6，即 c13 .所以△ADE的周长为31313 13 84a8c 13 .13.答案： x2y2 20l x y解析：法一：设直线 的方程为1，则点M (m,0)，N (0,n)（m0，n0）.m n设 A x1, y1 ，B x2 , y2 （ x1, x20， x1x2）. x1x2 m0,AB MN2 2由题意知线段 与线段 有相同的中点，所以y1y2 0 n ,2 2 x1x2m,即又因为 kky，所以 1 y2 0 n nAB MN. y1y2n. x1x2 m0 m x2 y21 1 1, 6 3将点 A x1, y1 ，B x2 , y2 的坐标代入椭圆方程中，得两式相减，得2 2 x2 y

2 1, 6 3数学·参考答案 第 7页（共 21页） x1x2x1x2y1y2y1y20 y1y2 y1y 1，整理得2 ，则6 3 x1x2 x1x2 2nn 1，则m22n2①.又 |MN | 2 3，所以由勾股定理，得m2n2 12mm2

. m0 m2 2, x y②联立①②，结合 ，n0，解得所以直线 l的方程为 1， n2, 2 2 2即 x2y2 20 .法二：设 E为 AB的中点，由题意知，点 E既是线段 AB的中点又是线段 MN的中点，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，设直线 AB : ykx m，k0，m0 m，则M ,0

， k N (0,m) Em ,m，，因为 |MN | 2 3，所以 |OE | 3 . 2k 2ykx m,联立直线 AB 与椭圆方程得 2 2 2 x2 y2 消掉 y得 1 2kx4mkx2m60 . 1, 6 3其中(4mk)2 4mk 4 1 2k 22m260， x1x2 ，1 2k 2所以AB中点E 2mkm m2mk m的横坐标 xE 2 ，又E, ，所以 x1 2k 2k 2 E

1 2k 2.2k2 m 2 2k0 m0m 因为 ， ，所以 k ，又 |OE |2 2k 3，解得m2， 2 2所以直线 AB : y x2，即 x2y2 20 .214. 1答案：（1）2（2） l : y 3 x 3或 y 1 x2 2 911 b2a2 3解析：（ ）由题知，解得， 9 921 b3 a 4b2 ca2 b23， C c 1的离心率 e .a 2数学·参考答案 第 8页（共 21页）3 23 5（2） | PA | 32 ， 22设点 B到直线 PA的距离为 h，则△ABP 1 12 5的面积为 S| PA | h9，解得 h.2 5 | x2y 6 | 12 5

易知直线 PA : x2y60，设 B(x, y)5，则 5 ， x2 y2 1 12 9 x 0 x3 B(0, 3) B 解得或 ， 或 3,3， y3 3

y2 2故 l : y 3 x 3或 y 1 x .2 215. 1 x2 y2答案：（ ）14 16（2）证明见解析解析：（1）因为双曲线 C的左焦点为 ( 2 5,0)，所以 c2 5 .e c 2 5由离心率5，得a2，所以bc2a24，a ax2 y2所以 C的方程为1 .4 16（2）证明：设M x1, y1 （ x10， y10），N x2 , y2 ，显然直线 MN的斜率不为 0，故设直线 MN的方程为 xmy4 .因为 A1( 2,0)， A2 (2,0)，所以直线MA1的方程为 yy 1 (x y 2)，直线 NA 2x2 2的方程为 y(x2)，1 x22数学·参考答案 第 9页（共 21页） y y1 (x2), x12 y x2 x2联立消去 y得 12. y y 2 (x x 2), 12 y2 x2x22 xmy4,

联立 2 2 消去 x整理得 4m2 1 y2 x y 32my480， 1, 4 16则 4m2 1 0，256m2 1920 y 32m 48，则 1y22 ， y y，4m 1 1 2 4m2 1所以my y 31 2 y1y2 ，23 9y1 x22 my1y26yy2y1所以 12 23 13，x12 y2 my1y22y2 yy2 1 2 2x2所以3，解得 x1，x2所以点 P在定直线 x1上.16. 1答案：（1） x2y 4（2）证明见解析1 2解析：（1）设点 P的坐标为 (x, y)，依题意得 | y | x2 y2 ，

1化简得 x2y，41所以 W的方程为 x2y.4（2）证明：设矩形 ABCD的三个顶点 A，B，C在 W上，则 ABBC，矩形 ABCD的周长为 2(| AB || BC |) .设Bt, t2 1，依题意知直线 AB不与两坐标轴平行， 4故可设直线 AB yt 2 1的方程为

k(xt)，不妨设 k0， 4 1与 x2y联立，得 x2kxktt 20，4则k 24 ktt 2 (k2t)20，所以 k2t .数学·参考答案 第 10页（共 21页）设 A x1, y1 ，所以 tx1k，所以 x1kt，所以 | AB | 1 k 2 x1t1 k2 | k2t | 1 k 2 | 2tk |，2 2| BC | 111 2t 1 k 1 2t 1 k22kt 1，且2kt 1 0， kk k k k 22(| AB | | BC |) 2 1 k2所以2k 22 tk3| 2kt 1| .k

2k 22k tk 3 1, t1

2k因为 2k 2tk 3| 2kt 1|2k2k 2 tk 31, 1 t k ， 2k 2

2k 22k tk 3 1, tk

2当 2k2k 20，即 k 1时，函数 y 2k 22ktk 3 1, 1 在 上单调递 2k 减，函数 y2k 1 k 2k 2tk 3 1在, 上单调递减或是常函数(当 k 1时是 2k 2常函数)，函数 y(2k 22k)t k k 3 1 在,

上单调递增， 2 所以当 t k 时， 2k 2tk 3| 2kt 1|取得最小值，且最小值为 k 2 1，232 1 k 2 2 1 k2 2又 k2t，所以 2(| AB || BC |) k 2 k2 1k 2 .32 1 k 2 2令 f (k) k 2， k 1，12 1 k 2 2 (k2)(k2)则 f (k)3 ，k当1 k2时， f (k)0，当 k2时， f (k)0，所以函数 f (k)在[1, 2)上单调递减，在 ( 2, )上单调递增，所以 f (k)f ( 2)3 3，数学·参考答案 第 11页（共 21页）32 1 k 2 2所以 2(| AB || BC |)23 3 .k当 2k2k 20，即0k 1时，函数 y 2k 22ktk 3 1 , 1在上单调 2k递减，函数 y2k2k 2tk 3 11在, k 上单调递增，函数 2k 2y 2k 2 2kt k 3 1k 在,上单调递增， 2 所以当 t 1时，2k 2tk 3| 2kt 1|取得最小值，且最小值为 k 3kk2k 1 k2 ，322kt 1 0 2(| AB | | BC |) 2 1 k2 2 1 k 2又 ，所以 2 k k 2 1k .k32 1 k 2 2令 g(k)，0k 1，k12 1 k 2 2 2k 2 1 则 g (k) k 2，2当0k时， g (k)0 2，当k 1时， g (k)0，2 2 2 2 所以函数 g(k)在0,上单调递减，在,1 上单调递增， 2 2

所以 g(k)g 2 3 3， 2

32 1 k 2 2所以 2(| AB || BC |) 3 3 .k综上，矩形 ABCD的周长大于3 3 .17.答案：（1）-1（2 16 2）9解析：法一：（1）将 A(2,1)的坐标代入 C的方程，得 a22，数学·参考答案 第 12页（共 21页）2 C x的方程为y2 1.2由题意知直线 PQ，AP，AQ的斜率都存在，设直线 AP的方程为 y 1 k(x2)，即 ykx 1 2k . ykx 1 2k ,

由x2 得 1 2k 2x24 2k 2kx4 8k 8k 20 .y2 1, 22 xPx 8k 8k4A1 2k 2，2x 2 x 4k4k2 y kx 1 2k 2k24k 1又 A， P， .2k 2 1 P P 2k 2 12 2将 k用 k x 4k4k2 2k4k 1替换，可得 Q， y，2k 2 1 Q 2k 2 1yy k P Q 8kPQ 1，即 l的斜率为-1.xPxQ 8k2 2 tan （ ）设 PAQ2 ，为锐角， tan 22 22 ，1 tan 解得 tan 2 或 tan 2（舍去）.2由题意知，直线 AP，AQ的斜率一正一负，不妨令 AP的斜率为正，π则 AP的倾斜角，2π 1 tantan2， 2tan

即（1）中 k2，代入 P，Q 10 4 2 4 2 5的坐标可得 P, ， 3 3

Q 10 4 2 , 4 2 5

， 3 3 5 直线 PQ的方程为 yx.3过 A 1 1作与 y轴平行的直线交 PQ于 B，令 x2，得 y ，即 yB ，3 3数学·参考答案 第 13页（共 21页） S 1 16 2△PAQyAyBxQxP.2 9法二：（1）将点 A 4 1的坐标代入双曲线方程得a21，a2 1化简得 a44a240，解得 a22，x2故双曲线的方程为y2 1.2由题意可知直线 l的斜率存在，设 l： ykx m，P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，联立直线与双曲线的方程，消去 y得 2k 2 1 x24kmx2m220，x x 4km 2m22故 12 2 ， x x，2k 1 1 2 2k 2 1k k y 1 y 1 kx m 1 kx m 1APAQ12120，x12 x22 x12 x22化简得2kx1x2(m 1 2k) x1x24(m 1)0，2k 2m22 4km故 2(m 1 2k)

2 4(m 1)0，2k 12k 1 即 (k 1)(m2k 1)0，而直线 l不过点 A，故 k1 .2 AP 0, π（ ）设直线 的倾斜角为 ，. 2PAQ 2由 tan PAQ2 2，得 tan.2 2数学·参考答案 第 14页（共 21页）由 2PAQπ，得 kAPtan2y1 1，即2 .x12 y1 12, x12 x 10 4 2 4 2 5 5由得 1， y1，代入直线 l的方程得m，x2 3 3 31y21 1, 2故 x1x20 x x 682，3 1 2 .9而 | AP | 3 x1 2 ， | AQ | 3 x22 ，由 tan PAQ2 2，得 sin PAQ 2 2 ，3S 1故 △PAQ| AP || AQ | sin PAQ2 x1x22x1x2416 2.2 9218. y答案：（1） x213（2）证明见解析解析：（1）由题意得c2①. y b b双曲线的渐近线方程为 x 3x，3②.a a又 c2a2b2③，联立①②③解得a 1，b3，C x2 y2 双曲线 的方程为1 .3（2）设直线 PQ的方程为 ykxn，由点 P，Q的相对位置可知 k0，且 k3 .将直线 PQ的方程代入 C的方程得 3 k 2x22knxn2 30，2则12 n23 k 20 x x 2kn n3 ， 123 k 2 ， x1x2 .3 k 2数学·参考答案 第 15页（共 21页）2 3 n23 k 2 又 x1x20， k3，n0，则 x1x2 x1x 224x1x22 .k 3 yy 3

xx,设点 M的坐标为 xM , yM 1 M 1M ，则yMy23 xMx2 .两式相减，得 y1y22 3xM3(x1x2 ) .又 y1y2kx1nkx2nk x1x2 ，k n2 3 k 2kn 2 3xMk x1 x23 x1 x2 ，解得 xM.k 2 3两式相加，得 2yM y1y2 3x1x2. y1y2kx1nkx2nk(x1x2 ) 2n，22y k x x3(x x ) 2n y 3 n 3 k2 3n 3 M1212，解得 Mk 2 x ， 3 k M因此，点 M的轨迹方程为 y 3 x(x0)，其中 k为直线 PQ的斜率.k若选条件①②，则证明③：由题知直线 AB的方程为 yk(x2)，设 A xA , yA ，B xB , yB ，不妨取点 A在第一象限， x 2k , yAkxAA2 ,k3则解得yA3xA , y 2 3kA.k3x 2k y 2 3k同理可得 B，k3 B ，k3x x 4k2此时 AB2 ， yAy12k .k 3 B k 2 3 yMkxM2 ,点 M的坐标满足3 yMxM , k数学·参考答案 第 16页（共 21页）

x 2k2 xA xB M , 解得 k2 3 2

y 6k yAyBM 2 ,k 3 2故 M为线段 AB的中点，即 |MA | |MB | .若选条件①③，则证明②：3当直线 AB的斜率不存在时，点 M即为点F (2,0)，此时 M不在直线 yx上，k不符合题意.当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 ym(x2)(m0，且m 3)，A xA , yA ，B xB , yB ，不妨取点 A在第一象限， 2m ymx xA,A A2 ,m3则解得yA3xA ,2 3m yA. m3x 2m 2 3m同理可得 B， yB，m3 m3xx 2此时 xA B 2m y y ， AyB 6mM 2 m2 3 M，2 m2 33 3由于点 M同时在直线 yx上，故6m2m2 ，k k解得 k m，因此PQ//AB .若选条件②③，则证明①：由题知直线 AB的方程为 yk(x2)，设 A xA , yA ，B xB , yB ，不妨取点 A在第一象限， x 2k A, yAkxA2 ,k3则解得yA3xA , y 2 3k A. k3x 2k同理可得 B， y 2 3kB，k3 k3数学·参考答案 第 17页（共 21页）设线段 AB的中点为E xE , yE ，x xAx 2k2B yy 6k则 E 2 ， y A B.2 k 3 E 2 k 2 3 |MA | |MB |， 点 M在线段 AB的垂直平分线上，M y y 1即点 在直线Exxk E 上.3将该直线方程与 yx联立，k 2k 2 xM k 2 x 3 E,解得y 6kM2yE ,k 3即点 M恰为线段 AB的中点，故点 M在 AB上.19.答案：（1） x23， y20（2）证明见解析（3）证明见解析解析：将点P1(5,4)的坐标代入 C的方程得5242m，解得m9，所以C : x2y 29 .1 1（1）过点P1(5,4)且斜率 k的直线方程为 y(x 5)4，2 2与 C的方程联立，消去 y化简可得 x22x 150，即 (x 5)(x3)0，解得 x3或 x5（舍去），所以点Q1的横坐标为-3，将 x3代入直线方程，得 y0，因此Q1( 3,0)，从而 P2 (3,0)，即 x23， y20 .（2）法一：由题意，Pn xn , yn ，Pn 1 xn 1, yn 1 ，Qnxn 1, yn 1.设过点Pn xn , yn 且斜率为 k的直线为 ln : yk xxnyn，将 ln 的方程与 C的方程联立，消去 y化简可得数学·参考答案 第 18页（共 21页） 1 k 2x22k 2x2kyxkxy 2n n n n 90，2由根与系数的关系得 x x 2k xn2ky nn 1 n ，1 k 22k 2x xn2ky2所以nk xnxn2kynn 1 2xn2 .1 k 1 k又Qnxn 1, yn 1 在直线 ln 上，所以 yn 1kxn 1xnynkxn 1kxnyn .从而 xn 1yn 1xn 1kxn 1kxnyn(1 k )xn 1kxnyn2 (1 k) k x nxn2kyn 1 k2kx1 k n yn xy ，1 k n n易知 xnyn0，所以数列 xy 1 kn n 是公比为 的等比数列.1 k法二：由题意，Pn xn , yn ，Pn 1 xn 1, yn 1 ，Qnxn 1, yn 1.P Q yy由点 n， n所在直线的斜率为 k，可知 kn n 1 .xnxn 1 x2 2又点P，Q 都在 C上，所以n yn9n n ， x2 2n 1yn 19xnyn x即 nyn 9 ，xn 1yn 1 xn 1yn 1 9易知 xnyn0，1 yy n n 1 x 9 y 1 k xnxn 1 xnxn 1yn 1 n 1则 n yn 1 xyy y n n1 k 19 n n 1 xnxn 1 ynyn 1 xnyn xnxn 1 xn 1yn 11xn 1yn 1xnyn9xyn n xn 1 yn 11xnynxn 1yn 19 xyx n nn 1yn 11 k即数列 xnyn 是公比为 的等比数列.1 k数学·参考答案 第 19页（共 21页）3 1 k（ ）法一：由（2）知，数列 xnyn 是首项为 x1y15 41，公比为 的1 k等比数列.t 1 k令，由0k 1可知 t 1，则 xyt n 11 k n n，又 x2ny2n9，所以 xny9 9n n 1 ，xnyn t9 t 2n 2 9 t 2n 2可得 xnn 1 ， yn 2t 2t n 1. 9 t2n 2 9 t2n 2 9 t2n 9 t2n 9 t2n 2P 9 t2n 2 所以 n2tn 1, n 1 ，Pn 1n , n ，Pn 2n 1 ,2t n 1 . 2t 2t 2t 2t x所以直线 P P 的方程为 xxn 1xnn n 1 nyy ，yn 1y nn即 9 t 2n 1x9 t 2n 1y 9t n 1(1 t)0 .易知点 Pn 2到直线 PnPn 1的距离2n 2 2n 2 9 t 2n 19 t 2n 1 9 t n 12t n 19 tn 1 9t (1 t)2td9 t 2n 1 2 29 t 2n 1 9t n 2(t 1)2(t 1) . 9 t 2n 1 2 29 t 2n 19 t2n 9 t2n 22 2n 2P P 9 t 9 t2n 2 又 n n 1 nn 12t 2t 2tn 2tn 1 (t 1)29 t 2n 1229 t 2n 1

2t n，S 1 9(t 1)3(t 1) 36k 3则 n PnPn 1 d ，2 4t 221 k 2 即 Sn为定值，所以 SnSn 1 .1 k法二：由（2）知，数列 xnyn 是首项为 x1y15 41，公比为 的等比1 k数学·参考答案 第 20页（共 21页）数列.t 1 k令，由0k 1可知 t 1，则 xnytn 1，1 k nx2 y2 9 9又 nn9，所以 xnyn ，xnyn tn 19 t 2n 2 2n 2可得 x 9 tn2t n 1， yn.2t n 1 9 t2n 2 9 t2n 2 9 t2n 9 t2n 9 t2n 2 2n 2 所以Pnn 1 , P9 t，2t 2tn 1n 12tn,2tn ，Pn 2n 1 , n 1 ， 2t 2t2n 4 2n 4 P 9 t , 9 tn 3n 2 n 2. 2t 2t 9 t2n 4 9 t2n 2xx 2tn 2 2tn 1 9 t2n 1所以 n 3 n yy 9 t2n 4 9 t2n 2 2n 1 ，n 3 n9 t2tn 2 2tn 19 t2n 2 9 t2nxx 2tn 1 2n 1n 2 n 12tn 9 t ，yn 2y2n 2 2n 2n 1n 1 9 t 9 t 9 t2tn 1 2tnx即 n 2 xn 1 x n 3xn ，所以P P //P P ，yn 2yn 1 yn 3yn n 3 n 1 n 2n所以点Pn和点Pn 3到直线 Pn 1Pn 2的距离相等，因此△PnPn 1Pn 2和△Pn 1Pn 2Pn 3的面积相等，即 SnSn 1 .数学·参考答案 第 21页（共 21页）高考数学三年（2022-2024）真题精编卷 6.【2024 新课标Ⅰ卷】设计一条美丽的丝带，其造型 可以看作图中的曲线 C的一部分.已知 C过专题六 平面解析几何坐标原点 O，且 C上的点满足：横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线 xa(a0)的距离一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.之积为 4，则( )1.【2024 新课标Ⅱ卷】已知曲线C : x2y2 16(y0)，从 C上任意一点 P向 x轴作垂线PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点 M的轨迹方程为( )2 2 2 2A. x y1(y x y 0) B.1(y0)16 4 16 8C. y2 x2 y2 x21(y0) D.1(y0)16 4 16 82 22【. 2023 新课标Ⅰ卷】设椭圆C1 :x y 2 1(a 1) x，C :y 2 1的离心率分别为 e ，e .若e3e ，a2 2 4 1 2 2 1则a( ) A.a2A. 2 3 B. 2 C. 3 D. 6 B.点 (2 2,0)在 C上3C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为 13.【2023 新课标Ⅰ卷】过点 (0, 2)与圆 x2y24x 1 0相切的两条直线的夹角为，则sin( ) D.当点 4x0 , y0 在 C上时， y0x02A.1 B. 15 C. 10 D. 6 7.【2022 新高考Ⅱ卷】已知 O为坐标原点，过抛物线C : y22px(p0)焦点 F的直线与 C交于 A，4 4 4x2B两点，其中 A在第一象限，点M ( p,0) .若 | AF | | AM |，则( )4.【2023 新课标Ⅱ卷】已知椭圆C :y 2 1的左、右焦点分别为F1，F2，直线 yx m与 C交3 A.直线 AB的斜率为 2 6 B. |OB | |OF |于 A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的 2倍，则m( ) C. | AB | 4 |OF | D. OAMOBM 180 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2三、填空题3 3 3 3x2 y2二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 8.【2024 新课标Ⅰ卷】设双曲线C : 22 1（a0，b0）的左、右焦点分别为F，F ，过 Fa b 1 2 25【. 2024 新课标Ⅱ卷】抛物线C : y24x的准线为 l，P为 C上的动点.对 P作 A : x2(y4)2 1的作平行于 y轴的直线交 C于 A，B两点，若 F1A 13， | AB | 10，则 C的离心率为__________.一条切线，Q为切点，对 P作 l的垂线，垂足为 B.则( )9.【2023 新课标Ⅱ卷】已知直线 x my 1 0与 C : (x 1)2y24交于 A，B两点，写出满足A.l与 A相切 B.当 P，A，B三点共线时， | PQ | 15 8“△ABC面积为 ”的 m的一个值__________.C.当 | PB | 2时，PAAB D.满足 | PA | | PB | P 2 5的点 有且仅有 个数学·专题六 第 1 页 共 2 页2 2 直线 AP，AQ的斜率之和为 0.10.【2023 x y新课标Ⅰ卷】已知双曲线C : 22 1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1， F2 .a b （1）求 l的斜率；

点 A在 C上，点 B在 y轴上，F1A F1B， F2A2F2B，则 C的离心率为__________. （2）若 tan PAQ2 2，求△PAQ的面积.311.【2022 新高考Ⅱ卷】设点 A( 2,3)，B(0,a)，若直线 AB关于 ya对称的直线与圆 2 218.【2022 x y新高考Ⅱ卷】已知双曲线C : 22 1（a0，b0）的右焦点为F (2,0)，渐近线方a b(x 3)2(y2)2 1有公共点，则 a的取值范围是__________.程为 y 3x .2 212.【2022 新高考Ⅰ x y卷】已知椭圆C : 22 1(ab0)，C的上顶点为 A，两个焦点为Fa b 1， （1）求 C的方程；1 （2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x , y ，Q x , y 在C上，且 xx0，F2，离心率为 .过F1且垂直于 AF2的直线与 C交于 D，E两点， | DE | 6

，则△ADE的周长 1 1 2 2 1 22是__________. y10 .过 P且斜率为 3的直线与过 Q且斜率为 3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作x2 y2 为条件，证明另外一个成立：①M在 AB上；② PQ//AB；③ MAMB .13.【2022 新高考Ⅱ卷】已知直线 l与椭圆1在第一象限交于 A，B两点，l与 x轴、6 319.【2024 新课标Ⅱ卷】已知双曲线C : x2y2m(m0)，点 P1(5,4)在 C上，k为常数，0k 1.y轴分别交于 M，N两点，且 |MA | | NB |， |MN | 2 3，则 l的方程为__________.按照如下方式依次构造点Pn (n2,3, )：过 Pn 1作斜率为 k的直线与 C的左支交于点Qn 1，令Pn为四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．Qn 1关于 y轴的对称点.记Pn的坐标为 xn , yn.2 214.【2024 新课标Ⅰ卷】已知 A(0,3) 和 P 3,3为椭圆C :x y 2a2 2 1(ab0)上两点. 1b （1）若 k，求 x ， y .2 2 2（1）求 C的离心率； （2）证明：数列 xny1 kn 是公比为 的等比数列.1 k（2）若过 P的直线 l交 C于另一点 B，且△ABP的面积为 9，求 l的方程.（3）设 Sn为△PnPn 1Pn 2的面积.证明：对任意正整数 n， SnSn 1 .15.【2023 新课标Ⅱ卷】已知双曲线 C的中心为坐标原点，左焦点为 ( 2 5,0)，离心率为 5 .（1）求 C的方程；（2）记 C的左、右顶点分别为 A1， A2，过点 ( 4,0)的直线与 C的左支交于 M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点 P，证明：点 P在定直线上.16.1 【2023 新课标Ⅰ卷】在直角坐标系 xOy中，点 P到 x轴的距离等于点 P到点 0, 的距离，记 2 动点 P的轨迹为 W.（1）求 W的方程；（2）已知矩形 ABCD有三个顶点在 W上，证明：矩形 ABCD的周长大于3 3 .2 217.【2022 Ⅰ x y新高考 卷】已知点 A(2,1)在双曲线C : 22 1(a 1)上，直线 l交 C于 P，Q两点，a a 1数学·专题六 第 2 页 共 2 页

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