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专题06 数列1.【2021年·全国甲卷（理）】等比数列的公比为q，前n项和为.设甲：，乙：是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.【2021年·北京卷】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则()A.64 B.100 C.128 D.1323.【2019年·全国Ⅰ卷（理）】记为等差数列的前n项和.已知，则()A． B． C． D．4.【2020年·全国Ⅱ卷（理）】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）()A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块5.【2021年·浙江卷】已知数列满足，，记数列的前n项和为，则()A. B. C. D.6.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】设是等比数列，且，，则()A.12 B.24 C.30 D.327.【2021年·全国甲卷（文）】记为等比数列的前n项和.若，，则()A.7 B.8 C.9 D.108.【2021年·北京卷】数列是递增的整数数列，且，，则n的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.129.【2020年·全国Ⅱ卷（文）】记为等差数列的前n项和.若，，则____.10.【2019年·全国Ⅲ卷（文）】记为等差数列的前n项和，若，则___________.11.【2021年·新高考Ⅰ卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么____.12.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和.13.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.14.【2021年·全国乙卷（文）】设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和.证明：.15.【2021年·全国乙卷（理）】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知.（1）证明：数列是等差数列.（2）求的通项公式.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查等比数列的定义和求和、充要条件.若，，则是递减数列.若是递增数列，则，一定可得.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.2.答案：C解析：由题，，则，故.3.答案：A解析：由题知，，解得，∴，故选A．4.答案：C解析：由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为，易知其首项，公差，所以.设数列的前项和为，由等差数列的性质知也成等差数列，所以，所以，得，所以三层共有扇面形石板的块数为，故选C.5.答案：A解析：本题考查递推数列数列求和、不等式.第1步（对数列通项进行放缩）：由已知可知，，，，故数列是正项递减数列，.因为，所以.利用累加法，知，可得，即，即，所以.利用累乘法，知，即，所以.第2步（求和比较）：.显然，.综上所述，.6.答案：D解析：解法一设等比数列的公比为，所以，由，解得，所以，故选D.解法二令，则.设数列的公比为，则，所以数列为等比数列，由题意知，，所以等比数列的公比，所以，所以，故选D.7.答案：A解析：本题考查等比数列的求和公式与性质应用.设等比数列的公比为q，显然，根据题目条件可得化简可得，即，所以.8.答案：C解析：要想n最大，前面的项应该越小越好，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14前12项和为102超过了100，故n的最大值为11.如3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，25.故选C.9.答案：25解析：通解设等差数列的公差为，则由，得，即，解得，所以.优解设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以.10.答案：100解析：得11.答案：5；解析：本题考查等比数列的前n项和、错位相减法求和及逻辑推理.（1）折4次可以得到，，，，共五种规格的图形.（2）由题意可知折k次共有种规格的图形，每个图形的面积为，则这些图形的面积之和，从而可知.令，则，所以，两式相减得，所以，所以.12.答案：(1)；(2).解析：(1)设的公比为，由题设得，即.所以，解得(舍去)，.故的公比为.(2)记为的前项和.由(1)及题设可得，.所以，.可得.所以.13.答案：（1）因为2n为偶数，所以，，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，，.（2）当n为奇数时，，所以的前20项和为.由（1）可知，，所以的前20项和为.14.答案：（1）因为，，成等差数列，所以.因为是首项为1的等比数列，设其公比为q，则，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.，①所以，②①-②，得，所以，所以，所以.15.答案：（1）当时，，由，解得.当时，由题知，代入，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由题意，得.由（1）可得.由，可得.当时，，显然不满足该式，所以
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