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2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线，即，则直线的斜率，所以倾斜角为.故选：C2．向量，，若，则（）A．， B．，C．， D．【答案】B【解析】由题设，故.故选：B3．已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（）A．160 B．253 C．180 D．190【答案】B【解析】设数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，所以，故选：B.4．已知表示的曲线是圆，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由方程可得，所以当时表示圆，解得.故选：C.5．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，所以，又直线的方向向量为，则，所以，设直线与直线所成的角为，则，则，所以点到直线的距离为．故选：A．6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】由焦点到其准线的距离为得；设在准线上的射影为如图,则，当且仅当共线时取得等号．所以所求最小值是4．故选：D．7．等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】由题意得，所以，所以，令，整理得，解得，故选：A.8．已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】设，则，由，则点为线段的中点，则，从而有，又，所以，又由，则，即，所以，所以．故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线，其中，则（）A．当时，直线与直线垂直B．若直线与直线平行，则C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，故选：AC．10．已知在等比数列中，满足，，是的前n项和，则下列说法正确的是（）．A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列【答案】AC【解析】依题意可知，所以，所以数列是等比数列，A选项正确.，所以，且，所以数列是递减数列，B选项错误.设，则，所以数列是等差数列，C选项正确.，因为，故数列{}中，不成等比数列，所以D选项错误.故选：AC.11．已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（）A．平面 B．平面C．三棱锥的体积为 D．直线与所成的角为【答案】ABD【解析】对于A，在正方体中，,平面，平面，故平面，A正确；对于B，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，连接，，则,则，，则，，故，即,而平面，故平面，B正确；对于C，连接，三棱锥的体积，C错误；对于D，连接EF，，则，故，即，由于异面直线所成角大于小于等于，故直线与所成的角为，D正确，故选：ABD12．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，延长交准线于【答案】ACD【解析】抛物线的焦点为，准线为，则，由，得，对于A，当时，，则，，故A正确；对于B，当时，可得，，则，设直线，把代入，可得，令，则，同理，则，因为，所以，所以，故B错误；对于C，由B选项知，，故C正确；对于D，当时，，则，，，由选项A知，，，，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列中，，，，则.【答案】【解析】由题意知，，，，，，，，易知是周期为6的数列，．14．以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是 .【答案】【解析】圆心到切线的距离，所以圆的半径，所以圆的标准方程为.15．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为 .【答案】【解析】因为，则，而异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.16．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为．【答案】【解析】因为椭圆：的离心率为，则，又因为，即，则，可得，所以，①又因为，可得，②又因为，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得为锐角，则，所以，即的斜率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知点和直线．（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；（2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2．又直线经过点，所以直线的方程为：，即．（2）点P到直线l的距离为：，①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，则，解得．所以，直线的方程为：．18．（12分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）. ；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2）设数列的前项和为，由，有，，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.19．（12分）已知椭圆：经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题可得，解得，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，设直线的方程为，由得，，因为，所以，即，所以，即，设，，所以，，因为，所以，即，所以，所以，即，解得或（舍），所以直线的方程为，即直线l恒过定点，令，，则，当时，最大值为．20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．【答案】（1）；（2）4【解析】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为,，,．可知圆心在直线上，故可设该圆的圆心为，则有，解得，故圆的半径为，所以圆的方程为；（2）的方程为．即圆D：，即两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为圆C的圆心到直线距离为，所以.21．（12分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.（1）求证：.（2）求与平面所成角的正弦值.（3）在线段上是否存在点，使得平面平面 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】（1）取中点，连接，如图，又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，,，又，平面，平面，又平面，（2）由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，设为平面的一个法向量，则，令，即，设与平面所成角为，，即与平面所成角的正弦值为.（3）若存在N使得平面平面，且，，则，解得 ，又，则，，设是平面CNM的一个法向量，则，令b=l，则，，解得，故存在N使得平面平面，此时.22．（12分）已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的方程；（2）已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.因为双曲线经过点，所以，解得.故双曲线的方程为.（2）证明：因为为的中点，所以.设直线的方程为，所以，直线的方程为，直线的方程为.联立,可得，所以又因为，所以，则.同理可得.,，2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 7 8C B B C A D A D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AC10．AC11．ABD12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）【解析】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2．............................................................................2分又直线经过点，所以直线的方程为：，即．.........................................4分（2）点P到直线l的距离为：，.................................................................6分①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾；.....................................................................8分②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，则，解得．所以，直线的方程为：．............................................................................10分18．（12分）【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，........................................................................3分由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为..............................6分（2）设数列的前项和为，由，有，，...............................8分上述两式相减，得.................................................10分得.所以，数列的前项和为........................................................12分19．（12分）【解析】（1）由题可得，解得，所以椭圆的方程为．............................................................................3分（2）由（1）知，设直线的方程为，由得，，因为，所以，即，所以，即，................................................................5分设，，所以，，.....................................................................6分因为，所以，即，所以，所以，即，解得或（舍），.....................8分所以直线的方程为，即直线l恒过定点，.....................................9分..................................10分令，，则，当时，最大值为．............................................................................12分20．（12分）【解析】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为,，,．................................................................2分可知圆心在直线上，故可设该圆的圆心为，则有，解得，...................................................................4分故圆的半径为，所以圆的方程为；...................................................................6分（2）的方程为．即圆D：，即两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为.....................................9分圆C的圆心到直线距离为，所以.............................................................................12分21．（12分）【解析】（1）取中点，连接，如图，又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，，，又，平面，平面，又平面，............................................................................3分（2）由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，即两两互相垂直，..............................................4分故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，...........................................................5分设为平面的一个法向量，则，令，即，....................................................7分设与平面所成角为，，即与平面所成角的正弦值为.....................................................................8分（3）若存在N使得平面平面，且，，则，解得 ，................................................9分又，则，，设是平面CNM的一个法向量，则，令b=l，则，..................10分，解得，故存在N使得平面平面，此时..................................................12分22．（12分）【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为..............................2分因为双曲线经过点，所以，解得.故双曲线的方程为.............................................................................4分（2）证明：因为为的中点，所以.............................5分设直线的方程为，所以，直线的方程为，直线的方程为.............................................................................7分联立,可得，所以.....................................................8分又因为，所以，则.同理可得.............................................................................10分,，2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．2．向量，，若，则（）A．， B．，C．， D．3．已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（）A．160 B．253 C．180 D．1904．已知表示的曲线是圆，则的值为（）A． B． C． D．5．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（）A．8 B．6 C．5 D．47．等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线，其中，则（）A．当时，直线与直线垂直B．若直线与直线平行，则C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等10．已知在等比数列中，满足，，是的前n项和，则下列说法正确的是（）．A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列11．已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（）A．平面 B．平面C．三棱锥的体积为 D．直线与所成的角为12．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，延长交准线于第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列中，，，，则.14．以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是 .15．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为 .16．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知点和直线．（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；（2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．18．（12分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.19．（12分）已知椭圆：经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值．20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．21．（12分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.（1）求证：.（2）求与平面所成角的正弦值.（3）在线段上是否存在点，使得平面平面 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22．（12分）已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的方程；（2）已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．2．向量，，若，则（）A．， B．，C．， D．3．已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（）A．160 B．253 C．180 D．1904．已知表示的曲线是圆，则的值为（）A． B． C． D．5．已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（）A．8 B．6 C．5 D．47．等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线，其中，则（）A．当时，直线与直线垂直B．若直线与直线平行，则C．直线过定点D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等10．已知在等比数列中，满足，，是的前n项和，则下列说法正确的是（）．A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列11．已知在棱长为1的正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（）A．平面 B．平面C．三棱锥的体积为 D．直线与所成的角为12．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，延长交准线于第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列中，，，，则.14．以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是 .15．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为 .16．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知点和直线．（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；（2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程．18．（12分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.19．（12分）已知椭圆：经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值．20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于A、B两点，求弦长．21．（12分）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.（1）求证：.（2）求与平面所成角的正弦值.（3）在线段上是否存在点，使得平面平面 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.22．（12分）已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的方程；

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