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2024北京西城高二（下）期末数学本试卷共 9 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 在等差数列 an 中， a1 = 3， a3 = 5，则 a10 =A. 8 B.10 C.12 D.142. 设函数 f (x) = sin x 的导函数为 g(x) ，则 g(x) 为A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数3. 袋中有 5 个形状相同的乒乓球，其中 3个黄色 2 个白色，现从袋中随机取出 3个球，则恰好有 2 个黄色乒乓球的概率是1 3 1 3A. B. C. D.10 10 5 54. 在等比数列 an 中，若 a1 =1， a4 = 4，则 a2a3 =A. 4 B. 6 C. 2 D. 65. 投掷 2 枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为 X ，则方差 D(X ) =5 1 5 5A. B. C. D.18 3 3 366. 设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a1 = 1，32S10 = 31S5 ，则 a6 =1 1 1 1A.B.C. D.32 64 32 647. 设函数 f (x) = ln x的导函数为 f (x)，则A. f (3)f (2)f (3)f (2) B. f (3)f (3)f (2)f (2)C. f (2)f (3)f (3)f (2) D. f (2)f (3)f (2)f (3)8. 设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，则“ an 是递增数列”是“ Sn 是递增数列”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件x9. 如果 f (x) = axe 在区间 ( 1,0) 上是单调函数，那么实数 a的取值范围为1 1A. ( , ] [1,+ )B.[ ,1]e e1C. ( , ]D. [1,+ )e第1页/共4页{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaA ACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}10. 在数列 a a = 2 (c0)n 中， 1 ，若存在常数 c ，使得对于任意的正整数m,n 等式am+n = am + can 成立，则A.符合条件的数列 an 有无数个B.存在符合条件的递减数列 an C.存在符合条件的等比数列 an D.存在正整数 N ，当 nN 时， an2024第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。111. 函数 f (x) = + x + 2 的定义域为_________.x12. 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙两人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率3 1是 ，甲、乙两人都回答错误的概率是是 . 假设甲、乙两人回答问题正确与否相互独立，那么乙答对这4 12道题的概率为_________.13. 设随机变量 的分布列如下，其中 a1,a2 ,a3 成等差数列，且 a1,a2 ,a3(0,1) .0 1 2P a1 a2 a3则 a2 = _________；符合条件的 E( )的一个值为_________.14. 设数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 a2 = 7 ， a4 = 8 ，且 an + an+1 + an+2 =10 (n *N ) .则 a3 = _________；使得 Sn2024成立的 n的最小值为_________.ln x, x015. 已知函数 f (x) =，其中 a R . 给出下列四个结论： 2 x + 2ax2, x0①当 a0 时，函数 f (x) 有极大值，无极小值；②若方程 f (x) = a 存在三个根，则 a [ 2, 1) ；③当 a0 时，函数 f (x) 的图象上存在关于原点对称的两个点； 2 3 1④当 a = 时，存在 x1, x2 (x1x2 )使得函数 f (x) 的图象在点 (x1, f (x1)) 和点 (x2 , f (x2 )) 处的切线是同2一条直线.其中所有正确结论的序号是_________.第2页/共4页{#{QQABSTYCQEho4ggIYAkJJIaA ACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）x函数 f (x) = + m，其中m R .ex（Ⅰ）当m = 0时，求函数 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f (x) 在区间 [0,3]上有两个零点，求m 的取值范围.17.（本小题 13 分）设数列 a 的前 n项和为 Sn ， a1 =1，且对于任意 n *N 都有 Sn = an n+1 1成立.（Ⅰ）写出 a2 ,a3 的值，并求数列 an 的通项公式；a（Ⅱ）若等差数列 b 的首项 bn 1 = S4 ，公差 d =2 ，求数列 bn 的前 n项和Tn 的最小值.a118.（本小题 15 分）为了解不同人群夏天户外运动的情况，分别从甲、乙两个单位随机选出几名职工，统计了他们的夏天户外运动时长，得到以下数据（单位：小时）：甲单位： 25， 26， 32 ， 33 ， 34 ， 36 ， 46， 47， 50 ， 55 ；乙单位：15 ，16 ， 22， 23， 24， 26， 36 ， 37 ， 40 .假设用频率估计概率，用样本估计总体，且每名职工的户外运动情况相互独立.（Ⅰ）现要对乙单位中夏天户外运动时长不足 20 小时的职工进行体检，已知乙单位共有1800 名职工，试估计乙单位此次参加体检的职工人数；（Ⅱ）从甲单位职工中随机抽取 2 人、乙单位职工中随机抽取1人，记 X 为这 3人中夏天户外运动时长不少于 35 小时的人数，求 X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设样本中甲单位职工户外运动时长的方差为 s 2 21 、乙单位职工户外运动时长的方差为 s2 ，写出 s21 与s 22 的大小关系.（结论不要求证明）19.（本小题 14 分）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为 6m3 2 . 已知水池底面的造价为 600 元/m ，侧面的造价为 400 元/m2 .（注：衔接处材料损耗忽略不计）（Ⅰ）把水池的造价 S （单位：元）表示为水池底面边长 x（单位：m）的函数；（Ⅱ）为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？第3页/共4页{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaA ACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}20.（本小题 15 分）已知函数 f (x) = xln(x + a) ，其中 a0 .（Ⅰ）当 a = 2时，求曲线 y = f (x) 在点 ( 1, f ( 1)) 处的切线方程；（Ⅱ）若函数 f (x) 的极小值为 0 ，求 a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的 x [0,+ ) ， f (x)kx2 成立，求实数 k 的最小值.21.（本小题 15 分）设 an 和 bn 均为各项互不相等的 N 项数列，其中 ai ,bi1,2, , N ， i =1,2, , N .记数列C : c1,c2 , ,cN ，其中 ck = akbk ， k =1,2, , N .（Ⅰ）写出所有满足条件的数列 a 和 b ，使得数列C : 1, 1,0,2n n ；（Ⅱ）若 N = 2024，C 是公差不为 0 的等差数列，求证： ai + bi 为定值；（Ⅲ）若C 为各项互不相等的数列，记C 中最大的数为 P ，最小的数为Q ，求 P Q 的最小值.第4页/共4页{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaA ACAShC5rQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}{#{QQABTSYCQEho4ggIYAkJJIaAACASh5CrQQUnmY4CCk0GmQQkkBJACAhAJUQgkOxxUFAAIIKoAxAqAAAYRFFAABBI A=A}=#}#}

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