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南京市2023—2024学年第二学期五校期初调研测试高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线倾斜角为A． B．C． D．2．抛物线的焦点坐标为A． B． C． D．3．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则A．8 B．9 C．10 D．114．已知数列均为等差数列，， ，则A．9B．18 C．16D．275．已知为椭圆的右焦点，为的左顶点，为上的点，且垂直于轴．若直线的斜率为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．6．设，若函数有极值点，则的取值范围为A．B．C．D．7．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的的切线与圆相切于点，则的最小值为A． B． C． D．8．已知，，，， 则的大小关系为A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，则A．有两个极值点B．有三个零点C．直线是曲线的切线D．若在区间上的最大值为3，则10．已知数列和满足，，，．则A．是等比数列 B．是等差数列C． D．11．已知点在圆上，点，，则A．存在点，使得 B．存在点，使得C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 若函数的图象是连续平滑曲线，且在区间上恒非负，则其图象与直线，，轴围成的封闭图形的面积称为在区间上的“围面积”．根据牛顿-莱布尼茨公式，计算面积时，若存在函数满足，则为在区间上的围面积．函数在区间上的围面积是____________．13．在等比数列中，，为该数列的前项和，为数列的前项和，且，则实数的值是____________．14．双曲线的左、右焦点分别是，，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若上一点满足，则到的两条渐近线距离之和为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设，函数的单调增区间是．（1）求实数a；（2）求函数的极值．16．（15分）已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，且，求．17．（15分）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求的前项和．18．（17分）在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，，，设直线的斜率分别为．（i）若，求；（ii）证明：为定值．19．（17分）已知函数 ，．（1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；（2）若函数有两个极值点．（i）求的取值范围；（ii）证明：．2023—2024学年第二学期五校期初调研测试高二数学参考答案一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 2.D3.C4.A 5. B 6.A 7.B8.D二 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. ABD 10. ABD 11. ACD填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.14.四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.15.( 13分)解：....................................3分因为函数的单调增区间是，所以，解得.......6分当时，令，则或列表如下：x1f'(x)+ 0f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘.............10分当时，有极小值，当时，有极大值0.............13分16.（15分）解：(1)由题意，到的距离和到直线的距离相等.. ................... .................2分故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， ....................................4分故曲线的方程为；....................................5分 （2）设直线的方程为，联立，消去得，设，................................7分则，因为，则， ................................10分解方程组，可得，或................................13分所以.................................15分17.（15分）解（1）①，②，①-②得， ....................................2分整理得，或，....................................4分又，得或（舍去），若，则，得，舍去，，即，数列是以为首项，为公差的等差数列； ....................................7分（2）由（1）可得，即，....................................8分，....................................10分，令，则，两式相减得，， ....................................14分.....................................15分18.（17分）解：(1)因为，根据椭圆的定义可知曲线为以为焦点的椭圆， ....... ....... ....... ....... ....... ....... 2分其中，所以椭圆方程：． .................................................4分(2)(i)易知直线的斜率不为零，所以设直线的方程为，，，，得，则，则，.................................................6分，.................................................11分． .................................................12分(ii)因为， .............................................16分为定值． .................................................17分19（17分）解: (1) 在上恒成立，....... ....... ....... ....... ....... ....... 2分所以在上恒成立，....... ....... ....... ....... ....... ....... 3分因为，所以，经检验，符合题意....... ......... ....... ....... 4分(2)(i)由题设且，若，则在上恒成立，即递增，不可能有两个极值点，不符；.... ....... ....... ....... ....... ....... 6分故，又有两个极值点，则是的两个不同正根，所以，可得，即实数的取值范围是..... ....... ....... ....... ....... ....... 9分(2)(ii)由（i）且，，不妨设，则，.... ....... ....... ....... ....... .......13分要证，需证，即，只需证，即，令，则证，.... ....... ....... ....... ....... .......15分由（1）可知当时，上递增，又，故，即，综上，..... ....... ....... ....... ....... .......17分
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