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2022-2023学年重庆市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 一组数据从小到大排列为，，，，，，，，，，估计该组数据的第百分位数为()A. B. C. D.2. 设复数满足，则复数的虚部是()A. B. C. D.3. 已知，则()A. B. C. D.4. 在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为()A. B. C. D.5. 今年月日是第个“世界读书日”，某中学高二数学统计小组发起了一项关于阅读的调查，通过各班小组成员在本班共四个班级收集的有效问卷数份如下：，，，，其中关于“每人每天电子阅读时长”单位：分钟的各班平均数依次为：，，，，则据此估计该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为()A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟6. 在一个不透明的袋中有个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则()A. B. C. D.7. 已知圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，圆锥底面半径为，侧面展开是一个半圆，则球的表面积是()A. B. C. D.8. 如图，一个棱长为的正方体封闭容器中，在棱，的中点和顶点处各有一个小洞，则该容器最多能盛水()A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 下列说法正确的是()A. 平行向量不是共线向量B. 若两个非零向量夹角为锐角，则C. 向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得D. 向量在非零向量上投影向量的长度为10. 某工厂加工一批零件，为了检测加工质量，工厂随机抽取了个零件进行尺寸的误差检测，若这个零件中的每个零件的误差都不超过，则认为该批零件合格若已知这个零件的误差统计数据如下，则一定可以判断这批零件合格的是()A. 中位数为，极差为 B. 平均数为，众数为C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为11. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法一定正确的是()A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则12. 如图，，线段与交于点，记，则()A.B.C.D.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若是方程其中，，的一个根，则 ______ ．14. 已知，事件相互独立，且，则 ______ ．15. 如图，有两条直线和相交，交点为，甲、乙两人同时从点分别沿，方向出发，速度分别为，，后，两人相距______ ．16. 在四面体中，平面于点，到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则 ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题分计算：；若复数在复平面对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．18. 本小题分设，，是直线，，，是平面，且，，．若，求证：；若，求证：．19. 本小题分某校对高一年级名学生的身高进行了统计，发现这名学生的身高介于单位：，现将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍．求第一组学生的人数，并估计这名学生身高单位：的中位数保留位小数；若采用分层抽样的方法从前两组中抽取位同学参加某项课外活动，在这位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率．20. 本小题分在中，角，，的对边为，，，C.求；设为边上的高，为的平分线，与交于点，求的面积．21. 本小题分如图，在平行四边形中，为的中点，记．用表示；若，求．22. 本小题分在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，．过作平面平面交直线于点，求；求四面体的体积．答案和解析1.【答案】 【解析】解：组数据从小到大排列为，，，，，，，，，，共计个数据，，故该组数据的第百分位数为第个数，即．故选：．根据百分位数的定义计算即可．本题考查百分位数的应用，属于基础题．2.【答案】 【解析】解：，，则复数的虚部是．故选：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】 【解析】解：，则，，则，，．故选：．根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．4.【答案】 【解析】解：根据正弦定理得：，，若，则，显然不成立，故A错误；若，则，存在一个满足条件，故B错误；若，则，故B可以是锐角，可以是钝角，存在两个满足条件，故C正确；若，则，，存在一个满足条件，故D错误．故选：．根据正弦定理表示出，代入的值，判断即可．本题考查了正弦定理的应用，考查转化思想，是基础题．5.【答案】 【解析】解：由题意可知，该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为，分故选：．利用平均数公式可求得该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长．本题考查数据的平均数，属于基础题．6.【答案】 【解析】解：在一个不透明的袋中有个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则，，，解得．故选：．由题意得两次都摸出黑球的概率为，列方程能求出结果．本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】 【解析】解：圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，设母线为，，可得母线长为：，圆锥的高为，设球的半径为，可得，解得，球的表面积：．故选：．由已知结合圆锥的结构特征求母线长与高，再由外接球半径、高与底面半径的几何关系求半径，代入球的表面积公式求解．本题考查圆锥外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】 【解析】解：设为中点，为中点，，，则容器最多能盛水的体积为正方体在截面下方的部分，截面上方为棱台，由题可知，可得为的中点，又，所以，所以棱台体积，所求体积为．故选：．画出经过正方体表面上三个小洞的平面截正方体所得的截面，结合图形确定截面下方部分多面体的体积即为所求，该多面体上部分为三棱台，求出三棱台的体积，再由正方体的体积减去三棱台的体积即得所求．本题考查了多面体的体积的计算，考查了棱台棱柱体积公式的应用，属于中档题．9.【答案】 【解析】解：选项，平行向量就是共线向量，错误；选项，若两个非零向量夹角为锐角，，正确；选项，向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得，，错误；选项，向量在非零向量上投影向量的长度为，正确．故选：．根据平面向量的基本定理，即可判断正误．本题考查平面向量的性质，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：对于，因为这批零件尺寸的误差值中位数为，极差为，所以个零件的尺寸的误差值的最大值小于等于，故A正确；对于，因为这批零件尺寸的误差平均数为，众数为，设这批零件尺寸误差为，，，，，，，，，，因为，故B不正确；对于，，因为这批零件尺寸的误差平均数为，若出现一次大于，即，所以，故C不正确，D正确．故选：．个零件的尺寸的误差值的最大值小于等于，可判断；举例可判断；利用反证法可判断，．本题考查数据的中位数，平均数以及标准差和方差，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于，由平面和平面平行的性质，若，则与没有公共点，又由，则与没有公共点，必有，A正确；对于，若，，则与可以平行，也可以相交，B错误；对于，若，，则或，C错误；对于，若，，则，D正确；故选：．根据题意，由直线与平面的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的判断，属于基础题．12.【答案】 【解析】解：，，，故A正确；B错误；设，，，，，同理，，，，联立解得，故，故C错误，D正确．故选：．根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，即可求解．本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，属于基础题．13.【答案】 【解析】解：是方程其中，，的一个根，可得复数是方程其中，，的另一个根，则，，，则．故答案为：．由实系数的一元二次方程根成对原理，得到方程的另一个根，结合复数的乘法运算，即可求解．本题考查复数的应用，属于基础题．14.【答案】 【解析】解：由概率的性质，可得，又事件、相互独立，则有，即，故．故答案为：．首先由概率的性质，得，再根据事件、的相互独立性，即可求得．本题考查相互独立事件的概率及概率的性质，属基础题．15.【答案】 【解析】解：经过，甲到达点，，乙到达点，，在中，依余弦定理，得，因此，后两人相距约．故答案为：．设后，甲到达处，乙到达处，根据距离公式计算，的长度，利用余弦定理即可求解．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】 【解析】解：设，连结，由，，平面，，，，又，为中点，在上，过作于，由到平面的距离为，，，在中，由余弦定理．故答案为：．设，连结，过作于，由到平面的距离为，可得，，，，在中，由余弦定理．本题考查了空间距离、空间角，考查了空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：原式；根据题意可知，复数在复平面对应的点位于第四象限，则． 【解析】根据复数的运算法则，计算即可；复数在复平面对应的点位于第四象限，则有，解不等式组即可．本题考查复数的应用，属于基础题．18.【答案】证明：，，，，，则，又，，；，，，又，，，，而，，可得． 【解析】由已知可得，由直线与平面平行的判定可得，再由直线与平面平行的性质得到；由，得，，结合，可得．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19.【答案】解：由图可知第四组的频率为，设第一组的频率为，由频率和为，得，解得所以第一组的人数为人，前三组的频率和为，设中位数为，则，解得中位数为．由题意知，第一组抽取人，记为，，第二组抽取人，记为，，，，从人中抽取人的共有，，，，，，，，，，，，，，种结果，且每种结果等可能发生，其中，，，，，，有种结果是两人来自于同一组，故所求的概率为． 【解析】由题意利用频率和为，列方程求出第一组的频率，从而求出对应的人数以及中位数．利用列举法求出对应的基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：在中，角，，的对边为，，，，由正弦定理，由余弦定理；，为锐角，，，，，由为等腰直角三角形，，． 【解析】利用正弦定理和余弦定理即可求解；由题意得到，利用为等腰直角三角形即可求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，属于中档题．21.【答案】解：设，，，联立两式解得，；，由，代入上式，由得，化简得，即，，即． 【解析】设，联立方程组可得；利用将，分别平方，联立方程组，可得，即．本题考查向量的表示，向量的数量积，属于中档题．22.【答案】解：设平面平面，，平面平面，又平面平面，，设，，平面，否则由平面平面，知，这与矛盾，即为点，又，，，；为中点，的面积是直角梯形的一半，，，，四面体的体积为． 【解析】设平面平面，，利用面面平行的性质可得，设，可得即为点，进而可求；利用，可求四面体的体积．本题考查求线段的长度，考查求空间几何体的体积，属中档题．第1页，共1页

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