青海省2022年初中学业水平考试
数 学
(本试卷满分120分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效。
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的).
1.下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
2.根据等式的性质，下列各式变形正确的是
A.若 ，则a=b B.若ac=bc，则a=b
C.若 =， 则a=b D.若 −x=6，则x= -2
3.下列运算正确的是
A.3+4=7 B.(x+y)2=x2+y2
C.(2+3x)(2−3x)=9x2−4 D.2xy+4xy2=2xy(1+2y)
4.已知关于x的方程 x2+mx+3=0 的一个根为x=1，则实数m的值为
A.4 B.-4
C.3 D.-3
5.如图1所示， A(2，0)，AB=3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为
A.(3，0) B.(，0) C.(−，0) D.(−3，0)
图1 图2
6.数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图2所示(两大拇指代表被截直线，食指代表截线).从左至右依次表示
A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角
7.如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE中点，连接BF.若 AC=16，BC=12， 则BF的长为
A.5 B.4 C.6 D.8
图3
8.2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系的大致图象是
A B C D
二、填空题(本大题共12小题，每小题2分，共24分).
9.-2022的相反数是 .
10.若式子 有意义，则实数x的取值范围是 .
11.习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 .
12.不等式组的所有整数解的和为 .
13.由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图4所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 .
主视图 左视图 俯视图
图4
14.如图5，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1.如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，压强的计算公式为 P=，，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则 的大小关系为 (用小于号连接).
图5 图6
15.如图6，在 Rt△ABC中， ∠ABC=900， ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E， ∠BAE=100， 则 ∠C 的度数是 .
16.如图7，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E、F，若AB=3， BC=4 ，则图中阴影部分的面积为 .
图7 图8
17.如图8是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB=4m，CD=6m， 则⊙O的半径长为 m.
18.如图9，从一个腰长为60cm，顶角为1200的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 cm.
图9 图10
19.如图10，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为
21cm2 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 .
20.木材加工厂将一批木料按如图11所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 根.
…
第1个 第2个 第3个 第4个
图11
三、解答题(本大题共7小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
21.(7分)解方程:
22.(10分)如图12，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)， 连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
(1)求证: △DCE≅△BCE;
(2)求证: ∠AFD=∠EBC.
图12
23.(10分)随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图13-1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图13-2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC=8，CD=2，∠D=135°，∠C=60°，且AB∥CD ，求出垂尾模型ABCD的面积.(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)
图13-1 图13-2
24.(10分)如图14，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F.
(1)求证: AF⊥EF;
(2)若 CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长.
图14
25.(12分)为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩(成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀)，相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩:6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10.
(1)填空:a= ，b = ;
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好?请说明理由(写出一条即可)；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
26.(10分)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现:
如图15-1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证： BD=CE;
图15-1 图15-2
(2)解决问题:
如图15-2，若 △ACB和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
点A，D，E在同一条直线上，CM为 △DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断
∠AEB 的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
27.(13分)如图16-1，抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于
点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
(3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足 =6 的点P?如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(请在图16−2 中探讨)
图16-1 图16-2
参考答案
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B
二、填空题
9. 2022 10. x 11. 1.246 12. 0 13. 5
14. 15. 400 16. 6 17. 18. 20π
19. （11-2x）（7-2x）=21 20.
三、解答题
21、x=4
22、证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=BC ， ∠ACD=∠ACB
在△DCE和△BCE中
∴△DCE≅△BCE（SAS）.
（2）∵△DCE≅△BCE
∴∠CDE=∠EBC
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD
∴∠CDF=∠AFD
∴∠AFD =∠EBC.
23、解：过D作DE垂直AB的延长线于E，交BC于点F.
∵AB∥CD ，
∴DE⊥CD
∴∠FEB=∠FDC=90°
在Rt△CDF中，CD=2，∠C=60°，
∴∠CFD=30°，CF=4，DF=2
∵BC=8，
∴BF=4
∴BF=CF
在△FEB和△FDC中
∴△FEB ≅△FDC（AAS）.
∴BE=CD=2， DF=EF=2
∵∠D=135°， ∠FDC=90°
∴∠ADE=45°
∴AE=DE=4
∴==AEDE=44=24
24、24.(10分=5+5)
(1)证明:连接O D ， …………………………………………… 1分
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠OAD， …………………………………………… 2分
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA， …………………………………………… 3 分
∴∠ CAD=∠ ODA，
∴OD//AF， …………………………………………… 4分
∵EF为⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF.…………………………………………… 5 分
(2)解:由(1)得:
OD∥AF
∴△ODE∽△AFE
∴OE:AE=OD:AF…………………………………………… 7分
设BE为x，
∵AC=2，CF=1
∴AF=3
∵AB=4，
∴OD=2，OB=2
∴OE=OB+BE=2+x ……………………………………………8 分
∴= …………………………………………… 9 分
解得：x=2，
即BE的长为 2 …………………………………………… 1 0分
25.(12分=2+2+3+5)
(1)a=8；b = 8 ……………………………………………2分
(2)解：答案一：七年级较好.理由：七年级被抽取的学生的成绩的众数是8分，八年级被抽取的学生的成绩的众数是7分，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好.
答案二：七年级较好.理由：七年级被抽取的学生的成绩的优秀率是80%，八年级被抽取的学生的成绩的优秀率是60%，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好. ……………………………………………4分
(3)解: 500×80%+500×60%=700(人). …………………………………6分
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为700 ……7分
(4)列表如下:
或树状图如下：
由表格或树状图可知，共有12种等可能的情况，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况有6 种…………………………………11分
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率
P== …………………………………12分
26.(4+6分)
(1)证明:∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠ D A E…………………………………1分
∴∠ BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
∴∠BAD=∠C A E . …………………………………2分
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≅△CAE(SAS)，…………………………………3 分
∴BD=CE. ………………………………… 4 分
(2)∠AEB=90∘，AE=BE+2CM，， ………………………………… 5 分
理由如下：
由(1)的方法得，
△ACD≅△BCE，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，…………………………………6 分
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45∘，
∴∠ ADC = 180° - ∠CDE = 135°，
∴∠BEC = ∠ADC = 135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. ………………………………7分
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME. ………………………………………………………………8 分
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，∴DE=2CM. ………………………………9分
∴AE=AD+DE =BE+2CM. ………………………………10分
27.(13分=4+4+5)
解:(1) ∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(-1，0)，B(3，0)，
∴ ………………………………3 分
∴所求抛物线的解析式为 y=x2−2x−3.………………………………4 分
(2)由(1)知，抛物线的解析式为 y=x2−2x−3，
则C(0，-3)， ………………………………5分
又∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4， ∴F(1，−4).………………………………6 分
设直线BC的解析式为y=kx-3(k≠0)，把B(3，0)代入，得
0=3k−3，
解得k=1，则该直线的解析式为y = x- 3. ………………………………7分
故当x=1时，y=-2，即E(1，-2)，
∴EF=|-4|-|-2|=2，即EF = 2 . ………………………………8分
(3)设点P(x，y)，由题意，得 =12×4∣y∣=6，
∴|y| =3，∴y=±3 ………………………………10分
当 y=−3时， x2−2x−3=−3，
∴x1=0，x2=2，………………………………11 分
当y=3时， x2−2x−3=3，
∴x₃=1- x₄=1+， ………………………………12分
∴当点P的坐标分别为
P1(0，−3)，P2(2，−3)，P3(1−7，3)，P4(1+7，3)时，
=6.………………………………13分