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数学试题一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. －3的倒数是（）A. －3 B. 3 C. D.2. 下列图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3. 2021年12月9日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进行太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过14600000人次.把“14600000”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4. 在体育测试中，7名女生仰卧起坐的成绩如下（次/分钟）：38，42，42，45，43，45，45，则这组数据的众数是（）A. 38 B. 42 C. 43 D. 455. 函数中自变量的取值范围是（）A. B. C. D.6. 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（）A. 54 B. 36 C. 27 D. 217. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.8. 如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（）A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 计算：_________.10. 已知的补角为，则_________.11. 写出一个在1到3之间的无理数：_________.12. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_________.13. 如图，是的直径，是的切线，为切点，连接，与交于点，连接.若，则_________.14. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________.15. 如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________.16. 如图，在中，.利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点.若，则的长为_________.三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分6分）计算.18.（本题满分6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.19.（本题满分6分）化简.20.（本题满分8分）为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球，排球，篮球，跳绳.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表.问卷情况统计表运动项目 人数乒乓球排球 10篮球 80跳绳 70（1）本次调查的样本容量是_______，统计表中_________；（2）在扇形统计图中，“排球”对应的圆心角的度数是_________；（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数.21.（本题满分10分）“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.（1）甲每次做出“石头”手势的概率为_________；（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率.22.（本题满分10分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品.每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱.问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格.23.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点.点，点的纵坐标为－2.（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求的面积.24.（本题满分10分）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，.（1）求阿育王塔的高度；（2）求小亮与阿育王塔之间的距离.（注：结果精确到，参考数据：，，）25.（本题满分10分）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且.（1）求证：四边形为菱形；（2）若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值.26.（本题满分12分）已知二次函数，其中.（1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值.27.（本题满分14分）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放.其中，，.【问题探究】小昕同学将三角板绕点按顺时针方向旋转.（1）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长.（2）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离.（3）连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长.（4）如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_________.数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1-5：CABDA 6-8：CBB二、填空题（每题3分，共24分）9.10. 12011. （答案不唯一） 12. 113. 4914.15. 416.三、解答题（共102分）17. 原式.18. 去分母，得，去括号，得，移项，得，解得.这个不等式的解集在数轴上表示如下：19. 原式.20.（1）200，40；（2）18；（3）（人），估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数约为400人.21.（1）；（2）树状图如图所示：甲、乙两人同时做出手势共有9种等可能结果，其中乙不输的共有6种，∴（乙不输）.答：乙不输的概率是.22. 设人数为人，由题意得，解得.所以物品价格是.答：有7人，物品价格是53钱.23.（1）将代入，解得，∴反比例函数表达式为.当时，代入，解得，即.将、代入，得，解得.∴一次函数表达式为.（2）设一次函数的图像与轴交点为，将代入，得，即.∵，，，∴.24.（1）在中，∵，∴.∵，∴.在中，由，得，解得.答：阿育王塔的高度约为.（2）由题意知，∴，即，∴.答：小亮与阿育王塔之间的距离约为.25.（1）∵四边形是平行四边形，∴，且.∵，∴.又∵点在的延长线上，∴，∴四边形为平行四边形.又∵，∴四边形为菱形.（2）如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上，∴.当、、共线时，.过点作，垂足为，∵，∴的最小值即为平行线间的距离的长.∵是边长为2的等边三角形，∴在中，，，.∴.∴的最小值为.26.（1）将代入，解得.由，则符合题意，∴，∴.（2）由抛物线顶点坐标公式得.∵，∴，∴，∴.∵，∴二次函数的顶点在第三象限.（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，其顶点坐标为.当时，.将代入，得.∵在轴的负半轴上，∴.∴.过点作，垂足为，∵，∴.在中，.∴当时，此时，面积有最大值，最大值为.27.（1）由题意得，，∵在中，，，.∴.（2）①当点在上方时，如图一，过点作，垂足为，∵在中，，，，∴，∴.∵在中，，，，，∴.∵点、、在同一直线上，且，∴.又∵在中，，，，∴，∴.∵在中，，∴.②当点在下方时，如图二，在中，∵，，，∴.∴.过点作，垂足为.在中，，∴.综上，点到直线的距离为.（3）如图三，取的中点，连接，则.∴点在以为圆心，为半径的圆上.当三角板绕点顺时针由初始位置旋转到点、、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为.∴点所经过的路径长为.（4）.（备注：各题如有其它解法，只要正确，均可参照给分）
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