近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的( )

A 、满射而非单射

B 、单射而非满射

C 、一一映射

D 、既非单射也非满射

2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。

A 、2

B 、5

C 、7

D 、10

3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是( )乘法来说

A 、不是唯一

B 、唯一的

C 、不一定唯一的

D 、相同的(两方程解一样)

4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( )

A 、不相等

B 、0

C 、相等

D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( )

A 、倍数

B 、次数

C 、约数

D 、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{

}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。

三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、设置换σ和τ分别为：??????=6417352812345678σ，??

????=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{ m m m M m -??=，定义m M 中运算“m +”为a

m +b=(a+b)(modm),则(m M ，m +)是不是群，为什么？

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。

2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题

二、1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集( )是子群。

A 、{}a

B 、{}e a ,

C 、{}3,a e

D 、

{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ，*)中，( )不是群

A 、G 为整数集合，*为加法

B 、G 为偶数集合，*为加法

C 、G 为有理数集合，*为加法

D 、G 为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？( )

A 、a*b=a-b

B 、a*b=max{a,b}

C 、 a*b=a+2b

D 、a*b=|a-b|

4、设1σ、2σ、

3σ是三个置换，其中1σ=(12)(23)(13)，2σ=(24)(14)，3σ=(1324)，则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。

A 、不可能是群

B 、不一定是群

C 、一定是群

D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。