《运筹学》试题样卷（一）
一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X ）
1. 无孤立点的图一定是连通图。
2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。
3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0
>j σ对应的变量
都可以被选作换入变量。
6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。
7. 度为0的点称为悬挂点。
8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
二、建立下面问题的线性规划模型（8分）
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为
(1)写出原线性规划问题；（4分） (2)写出原问题的对偶问题；（3分）
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）
3212max x x x Z +-=
s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 60 x 1- x 2 +2 x 3 ≤ 10 x 1+ x 2- x 3 ≤ 20 x 1, x 2 , x 3 ≥0
五、求解下面运输问题。 （18分）
某公司从三个产地A 1、A 2、A 3 将物品运往四个销地B 1、B 2、B 3、B 4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小?
六、灵敏度分析（共8分）
线性规划max z = 10x 1 + 6x 2 + 4x 3
s.t. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 100 10x 1 +4 x 2 + 5 x 3 ≤ 600 2x 1 +2 x 2 + 6 x 3 ≤ 300 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
的最优单纯形表如下：
(1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分)
(2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)
七、试建立一个动态规划模型。（共8分）
某工厂购进100台机器，准备生产p1 , p2 两种产品。若生产产品p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品p2 ，每台机器每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？
八、求解对策问题。（共10分）
某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。要求：
（1）建立损益矩阵；（3分）
（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）
九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分）
十、用标号法求V1到V6的最短路。（6分）
运筹学样卷（一）答案一、判断题。共计10分，每小题1分
二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）
解：用321,,x x x 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；54,x x 分别表示奶牛和鸡的饲养数；76,x x 分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=
??
?
???
??
?
??=≥≤≤≤+++++≤+++++≤+≤+++)7,,2,1(0)(1500)(200)(40003.0504017550)(35006.010*******)(150003400)(1005.154754321654321544
321Λj x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j
鸡舍限制牛栏限制劳动力限制劳动力限制资金限制土地限制
三、对偶问题。共计8分
解：（１）原线性规划问题：3211026max x x x z
+-=
?
??
??
≥≤+-≤+0,103522132122x x x x x x x ；……4分
（２）原问题的对偶规划问题为：
21105min y y w +=
??????
?
≥≥+-≥-≥0
,1022632121212y y y y y y y ； ……3分
（３）对偶规划问题的最优解为：
)2,4(=*Y T 。……1分
四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x 4、 x 5、 x 6，标准化得，
3212max x x x Z +-=
s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3+ x 4
= 60
x 1- x 2 +2 x 3 + x 5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x 6 = 0
x 1, x 2 , x 3， x 4、 x 5、 x 6，≥0……………3分
建初始单纯形表，进行迭代运算： ……………………… …9分
由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T …2分
最优值为： z*=25。………2分
五、求解运输问题。共计18分 解：
（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分） 设x ij 为由A i 运往B j 的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）, 列表如下：
分 所以，基本的初始可行解为：x 14 =25； x 22=20 ； x 24 =5 ；
X 31 =15； x 33 =30； x 34=5
其余的x ij=0。 …………3分
（2）求最优调运方案：
1会求检验数，检验解的最优性：σ11=2；σ12=2；σ13=3；
σ21=1；σ23=5；σ32= - 1…………3分
2会求调整量进行调整：=5 …………2分
…3分
3再次检验 …………2分
4能够写出正确结论
解为：x 14=25 ； x 22 =15 ； x 24 =10 x 31 =15， x 32 =5 x 33=30
其余的x ij=0。 ……1分
最少运费为： 535 ………1分。
六、灵敏度分析。共计8分 （1）（4分）
（2）（4分）
10401=?≤-b
七、建动态规划模型。共计8分
解：(1)设阶段变量k 表示年度，因此，阶段总数n =3。
(2)状态变量sk 表示第k 年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k –1 年度末时的完好机床数量。
(3)决策变量uk ，表示第k 年度中分配于生产产品 p 1 的机器台数。于是sk – uk 便为该年度中分配于生产产品 p 1的机器台数． （4） 状态转移方程为
（5）允许决策集合,在第 k 段为 （6）目标函数。设gk (sk ,uk )为第k 年度的产量，则
gk (sk ,uk ) = 45uk + 35(sk –uk ) ,
因此，目标函数为 ???
???--≤?≤??????--3/23/10min 6/13/2,6/13/8max 1
c 155104106,54111=+≤?+≤-=≤?≤-c c c ???
???----≤?≤??????-∞-2100,3/23/100min 3/53/200,max 1b )
(65.035.01k k k k u s u s -+=+}{)(k k k k k s u u s U ≤≤=0∑
==3
)
,(k
i k
k k k
u s g R
（7）条件最优目标函数递推方程。
令fk (sk )表示由第k 年的状态sk 出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化
原理有以下递推关系： （8）.边界条件为
八、解决对策问题。共10分
（1）益损矩阵如下表所示：……3分
（2）悲观法：A 1 ，订购500公斤。……2分 （3）后悔矩阵如下表所示：……3分
23……2分
))
((max )(k k U u k k s u s f k
k ∈=)]}
(65.035.0[)](3545{[1k k k k k k k u s u f u s u -++-++0)(1313=++s f
关键问题是：①
→②；2→④；④→⑤；④→6；6→⑦
关键线路是：
评分标准：①能正确给各顶点标号并填表......................4分
②正确写出关键问题.............. 2分
③正确画出关键线路............. ２分
十、用标号法求v 1 到 v 6 的最短路。（6分）
1234,56长度为：12
正确标号：4分；正确写出结论：2分