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中小学教育资源及组卷应用平台2022年辽宁省营口市中考数学真题第一部分 选择题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1. 在，0，，2这四个实数中，最大的数是（）A. 0 B. C. 2 D.2. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.4. 如图，直线顶点B，C分别在上，若，则的大小为（）A. B. C. D.5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.6. 分式方程的解是（）A. B. C. D.7. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A B.C. D.8. 如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（）A B. 8 C. D. 49. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A. B. C. D.10. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（）A. B. C. D.第二部分 非选择题二、填空题（每小题3分，共18分）11. 相反数是____________．12. 不等式组的解集为____________．13. 甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”，两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是，，则两人成绩比较稳定的是____________（填“甲”或“乙）14. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）15. 如图，在正六边形中，连接，则____________度．16. 如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）17. 先化简，再求值：，其中．18. 为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）小雨抽到A组题目的概率是_________；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）19. 某校为了了解疫情期间学生居家锻炼时长的情况，随机抽取了部分学生，就居家一周的锻炼时长进行了统计调查，根据调查结果，将居家锻炼时长分为A，B，C，D四个组别．学生居家锻炼时长分组表组别 A B C Dt（小时）下面两幅图为不完整的统计图．请根据图表中的信息解答下列问题：（1）此次共抽取_________名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A组所在扇形圆心角的度数；（3）若全校有1000名学生，请根据抽样调查结果，估计D组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数．20. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点，且点B为的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求的周长．五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）21. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）22. 如图，在中，，以为直径作与交于点E．过点A作的切线交的延长线于点D．（1）求证：；（2）若，，求的半径．六、解答题（本题满分12分）23. 某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本） … 22 23 24 25 …每天销售量（本） … 80 78 76 74 …（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？七、解答题（本题满分14分）24. 如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接．（1）证明：；（2）将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转．①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长．八、解答题（本题满分14分）25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台2022年辽宁省营口市中考数学真题第一部分 选择题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1. 在，0，，2这四个实数中，最大的数是（）A. 0 B. C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵2＞＞0＞-1，∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．故选：C．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．【详解】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项计算即可判断．【详解】A．，故选项A错误，不合题意；B．，故选项B正确，符合题意；C．，故选项C错误，不合题意；D．，故选项D错误，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握各个运算法则是解本题的关键．4. 如图，直线的顶点B，C分别在上，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据平行线的性质得到∠EBC=∠BCF=25°，再利用互余得到∠ABE=65°．【详解】解：∵，，∴∠EBC=∠BCF=25°∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-25°=65°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，求解即可．【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根，，解得，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．6. 分式方程的解是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可．详解】解：，去分母，得，去括号，得，移项，得，所以．经检验，是原方程的解．故选：C．【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．7. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得： 240x-150x=150×12．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8. 如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（）A. B. 8 C. D. 4【答案】A【解析】【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．详解】解：连接，，，为的直径，，，在中,，．.故选：A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据作图过程可得BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，根据作图过程可知：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；∵∠BDC=∠ACB=72°，∴BD=BC，故选项A成立；∵∠ABD=∠A=36°，∴AD=BD，故选项B成立；没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．10. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．第二部分 非选择题二、填空题（每小题3分，共18分）11. 的相反数是____________．【答案】2【解析】【分析】根据相反数的概念进行求解即可．【详解】的相反数是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相反数定义，即和为0的两个数互为相反数，熟练掌握知识点是解题的关键．12. 不等式组的解集为____________．【答案】【解析】【分析】根据不等式的基本性质分别求出两个不等式的解集，再利用不等式组解集口诀“大小小大取中间”写出解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为：，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法并熟记解集口诀，正确解得每个不等式的解集是关键．13. 甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”，两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是，，则两人成绩比较稳定的是____________（填“甲”或“乙）【答案】甲【解析】【分析】根据方差的意义求解即可．【详解】∵，，∴，∴甲的成绩要比乙的成绩稳定．故答案为：甲．【点睛】本题考查了方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，熟练掌握方差越小，波动性越小是解本题的关键．14. 如图，将沿着方向平移得到，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________．（写出一个即可）【答案】AB=BE（答案不唯一）【解析】【分析】由题目提供的条件可以得到四边形是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可．【详解】解：添加AB=BE，∵将沿着方向平移得到，∴AB=DE，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB=BE，∴四边形是菱形，故答案为：AB=BE（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证明四边形ABED是平行四边形是解题的关键．15. 如图，在正六边形中，连接，则____________度．【答案】30【解析】【分析】连接BE，交CF与点O，连接OA，先求出，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．【详解】连接BE，交CF与点O，连接OA，在正六边形中，，，故答案为：30．【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．16. 如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．【答案】【解析】【分析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．【详解】解：过点作，垂足为，在中，∵，，∴，∵点P的速度为，点Q的速度为，∴，∴，在和中，∵，，∴，∴点在上运动时，为等腰直角三角形，∴，∴当点在上运动时，，由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去），∴，当时，过点作于点，如图：此时，在中，，，∴，，，∴，即，所以当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．三、解答题（17小题10分，18小题10分，共20分）17. 先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．【详解】解：=，当时，原式==．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．18. 为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．（1）小雨抽到A组题目的概率是_________；（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）通过列表法，可得共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】（小雨抽到A组题目），故答案为：；【小问2详解】列表如下：小雨 莉莉 A B C DA AA BA CA DAB AB BB CB DBC AC BC CC DCD AD BD CD DD由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）．【点睛】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）19. 某校为了了解疫情期间学生居家锻炼时长的情况，随机抽取了部分学生，就居家一周的锻炼时长进行了统计调查，根据调查结果，将居家锻炼时长分为A，B，C，D四个组别．学生居家锻炼时长分组表组别 A B C Dt（小时）下面两幅图为不完整的统计图．请根据图表中的信息解答下列问题：（1）此次共抽取_________名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A组所在扇形的圆心角的度数；（3）若全校有1000名学生，请根据抽样调查结果，估计D组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数．【答案】（1）50（2）补全条形统计图见解析，A组所在扇形的圆心角的度数为36°；（3）估计D组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数有200人．【解析】【分析】（1）根据C组的人数除以C组所占的百分比，可得答案；（2）先求得B组人数，可补全条形统计图；根据A组的人数比上总人数乘以360°，可得答案；（3）用全校的总人数乘以最喜欢D组的人数所占的百分比即可．【小问1详解】解：20÷40%=50(名)，∴此次共抽取50名学生故答案为：50；【小问2详解】解：B组人数为50×30%=15(名)，补全条形统计图如图所示：A组所在扇形的圆心角为×360°=36°；【小问3详解】解：估计D组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数有：1000×=200（人）．答：估计D组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数有200人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，反比例函数的图象经过点A和点，且点B为的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求的周长．【答案】（1）k=12，C(0，9)（2）【解析】【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可求得k，根据点A，点C的位置分别设出点A(a，)，点C(0，c)，分别过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，根据三角形的中位线定理得AE=2BD，CE=2CD，继而求出点C的坐标；（2）在（1）的条件下利用勾股定理求出AC，OA，利用数轴上两点间的距离求出OC，即可求出的周长．【小问1详解】解：∵的图象经过点，∴k=2×6=12，即反比例函数解析式为，∵反比例函数经过点A，点C在y轴上，∴可设A(a，)，C(0，c)，如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BD⊥y轴于点D，∴E(0， )，D(0，6)，AE∥BD，BD=2，AE=a∵点B为的中点，∴AE=2BD，CE=2CD，∴a=4，∴E(0，3)，∴c-3=2(c-6)，解得c=9，即C(0，9) ．【小问2详解】由（1）可知A(4,3)，E(0，3)，C(0，9)，∴OC=9，，，∴的周长为【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线定理、勾股定理、数轴上两点间的距离等，构造直角三角形和三角形的中位线是解题关键．五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）21. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）【答案】大楼的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可．【详解】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，四边形BENF为矩形，设，在中，斜坡的坡度，即，在中，在中，解得，所以，大楼的高度为92米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．22. 如图，在中，，以为直径作与交于点E．过点A作的切线交的延长线于点D．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）利用为的直径及AD为的切线，得，进而得到∠DAC=∠ABE，再利用三角形的外角定理结合等量代换即可求证结论．（2）设半径为a，则AB=AC=2a，则CE=2a-3，由（1）得∠DAB=∠BEC=90°，∠D=∠EBC，则，进而得，根据等式解出a即可求解．【小问1详解】证明：∵为的直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAC=90°，又∵AD为的切线，∴∠DAB=90°，∴∠DAC+∠BAC=90°，∴∠DAC=∠ABE，又∵，∴∠ACB=∠ABC，∵∠ACB为△ADC的一个外角，∴∠ACB=∠D+∠DAC，∴∠D+∠DAC=∠ABC=∠ABE+∠EBC，∴∠D=∠EBC．【小问2详解】设半径为a，则AB=AC=2a，则CE=2a-3，由（1）得，∠DAB=∠BEC=90°，∠D=∠EBC，，，即，得，解得，∴的半径为．【点睛】本题考查了圆的切线性质、直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握圆的切线性质及直径所对圆周角为直角巧妙运用等量代换证明，根据相似三角形的判定及性质解决问题是解题的关键．六、解答题（本题满分12分）23. 某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本） … 22 23 24 25 …每天销售量（本） … 80 78 76 74 …（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元．①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；（2）①B款纪念册销售量为(80-2m)本；②当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【解析】【分析】（1）设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）①设A款纪念册每本降价m元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则B款纪念册销售量为(80-2m)本；②先利用待定系数法求得B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润×每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案．【小问1详解】解：设A，B两款纪念册每本的进价分别为a元和b元，依题意得，解得，答：A，B两款纪念册每本的进价分别为20元和14元；【小问2详解】解：①设A款纪念册每本降价m元，则A款纪念册销售量为(40+2m)本，售价为(32-m)元，则每册利润为32-m-20=12-m（元），∵这两款纪念册每天销售总数不变，∴B款纪念册销售量为(80-2m)本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=kx+n，∴，解得，∴B款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为y=-2x+124，由①得：B款纪念册销售量为(80-2m)本，售价为80-2m =-2x+124，即x=22+m(元)，则每本利润为22+m-14=8+m(元)，设该店每天所获利润为w元，则w=(40+2m)(12-m)+ (80-2m)(8+m)=-4m2+48m+1120=-4(m-6)2+1264，∵-4∴当m=6时，w有最大值，最大值为1264元，此时A款纪念册售价为32-6=26(元)，答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．七、解答题（本题满分14分）24. 如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接．（1）证明：；（2）将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转．①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长．【答案】（1）见解析（2）①成立，见解析；②的长为或【解析】【分析】（1），连接，取的中点，连接，证明是等腰直角三角形，根据中位线的性质即可得证；（2）①如图，连接，取的中点，连接，证明，证明，过点作于点，证明，则，根据中位线的性质即可得证；②分情况讨论，根据勾股定理即可求的的长，根据①的结论即可求解．小问1详解】如图，连接，取的中点，连接，且，是等腰直角三角形，，四边形是正方形，则，且D,N,B在边CD的同侧，三点共线，设，，则，，分别为的中点，，分别为的中点，，，过点作则是等腰直角三角形垂直平分，，，【小问2详解】①如图，连接，取的中点，连接，，，，，，，，分别为的中点，，，，，分别为的中点，，，，，，过点作于点，则是等腰直角三角形，，，，，，，；②如图，当共线，在的上方时，，，中，，，，，，，，如图，当共线，在的左边时，中，，，，，综上所述，的长为或．【点睛】本题考查了正方形性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．八、解答题（本题满分14分）25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为，直线的解析式为，（2）（3）存在【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解；（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解．【小问1详解】解：抛物线经过点和点，，解得，抛物线解析式为，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，【小问2详解】如图，设直线与轴交于点，由，令,得，则，，，设，则，，，，，，，中，，设的面积为，的面积为，，，，即，设，则，，解得或（舍），当时，，【小问3详解】设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，由，令，得，则设过直线的解析式为，解得过直线的解析式为，是等腰直角三角形是等腰直角三角形直线垂直平分线段是等腰直角三角形，，设，则，，解得（舍）即【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键．21世纪教育网www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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