lim x → ∞ s i n x x = 1 \lim _{x\to \infty} \frac{sinx}{x}=1 x→∞limxsinx=1 lim ( 1 + Δ ) ∞ = e lim Δ ∞ \lim (1+\Delta)^\infty = e^{\lim \Delta \infty} lim(1+Δ)∞=elimΔ∞ lim n → ∞ n n = 1 \lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1 n→∞limnn =1 lim n → ∞ a n = 1 \lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1 n→∞limna =1
b）常见的需要讨论的极限lim x → ∞ e x = { x → + ∞ : + ∞ x → − ∞ : 0 \lim _{x\to \infty} e^x = \left\{\begin{matrix} {x\to +\infty} :& +\infty \\ {x\to -\infty} :& 0 \end{matrix}\right. x→∞limex={ x→+∞:x→−∞:+∞0 lim x → ∞ a r c t a n x = { x → + ∞ : + π / 2 x → − ∞ : − π / 2 \lim _{x\to \infty} arctanx = \left\{\begin{matrix} {x\to +\infty} :& +\pi/2 \\ {x\to -\infty} :& -\pi/2 \end{matrix}\right. x→∞limarctanx={ x→+∞:x→−∞:+π/2−π/2 lim x → c [ x ] = { x → c − : c − 1 x → c + : c 注：[x]是Gauss取整函数 \lim _{x\to c} [x] = \left\{\begin{matrix} {x\to c^-} :& c-1 \\ {x\to c^+} :&c \end{matrix}\right. \\ \text{注：[x]是Gauss取整函数} x→clim[x]={ x→c−:x→c+:c−1c注：[x]是Gauss取整函数
c）一些常见的二级结论lim n → ∞ n [ l n ( n + 1 ) − l n ( n ) ] = 1 \lim _{n\to \infty} n[ln(n+1)-ln(n)]=1 n→∞limn[ln(n+1)−ln(n)]=1
习题1). 涉及幂指函数的处理 s o l v e : lim n → ∞ n n 2 + n + 1 n ( n + 1 ) n ( 5 n − 1 ) solve:\quad\lim _{n\to \infty} \frac{n^{\frac{n^2+n+1}{n}}}{(n+1)^n}(\sqrt[n]{5}-1) solve:n→∞lim(n+1)nnnn2+n+1(n5 −1)
solution 1: lim n → ∞ n n 2 + n + 1 n ( n + 1 ) n ( 5 n − 1 ) = lim n → ∞ e n 2 + n + 1 n l n ( n ) − n l n ( n + 1 ) n l n 5 = lim n → ∞ n e n [ l n ( n ) − l n ( n + 1 ) ] n n n l n 5 = e − 1 l n 5 \lim _{n\to \infty} \frac{n^{\frac{n^2+n+1}{n}}}{(n+1)^n}(\sqrt[n]{5}-1)=\lim _{n\to \infty} \frac{e^{\frac{n^2+n+1}{n}ln(n)-nln(n+1)}}{n}ln5=\lim _{n\to \infty} \frac{ne^{n[ln(n)-ln(n+1)]}\sqrt[n]{n}}{n}ln5 =e^{-1}ln5 n→∞lim(n+1)nnnn2+n+1(n5 −1)=n→∞limnenn2+n+1ln(n)−nln(n+1)ln5=n→∞limnnen[ln(n)−ln(n+1)]nnln5=e−1ln5
solution 2: lim n → ∞ n n 2 + n + 1 n ( n + 1 ) n ( 5 n − 1 ) = lim n → ∞ = n ⋅ n n ⋅ n n n ( n + 1 ) n l n 5 = lim n → ∞ ( 1 + − 1 n + 1 ) n l n 5 = e lim n → ∞ − n n + 1 l n 5 = e − 1 l n 5 \lim _{n\to \infty} \frac{n^{\frac{n^2+n+1}{n}}}{(n+1)^n}(\sqrt[n]{5}-1)=\lim _{n\to \infty} =\frac{n\cdot n^n\cdot \sqrt[n]{n}}{n(n+1)^n}ln5=\lim _{n\to \infty} (1+\frac{-1}{n+1} )^nln5=e^{\lim _{n\to \infty} -\frac{n}{n+1} }ln5=e^{-1}ln5 n→∞lim(n+1)nn