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2000年研究生入学试题

一、填空题

1．设，E为四阶单位阵，且，

则.

2．设，矩阵，n为正整数，则

.

3．已知方程组无解，则.

4．若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，E为4阶单位阵，则行列式.

5．若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为2，3，4，5，E为4阶单位阵，则行列式.

二、选择题

1．设n维列向量组线性无关，则n维列向量组线性无关的充分必要条件为（）.

A.向量组可由向量组线性表示；

B.向量组可由向量组线性表示；

C.向量组与向量组等价；

D.矩阵与矩阵等价.

2.设A为n阶实矩阵，是A的转置矩阵，则对于线性方程组

（I）,(II),必有（）.

A.(II)的解是方程组（I）的解，(I)的解也是(II)的解；

B.(II)的解是方程组（I）的解，但(I)的解不是(II)的解；

C.(I)的解不是方程组（II）的解，(II)的解也不是(I)的解；

D.(I)的解是方程组（II）的解，但(II)的解不是(I)的解.

3．设是四元非齐次线性方程组的三个解向量,且，，，C表示任意常数，则线性方程组得通解（）.

A;B;C;D.

三、计算证明题

1.设矩阵A的伴随矩阵，且，其中E为四阶单位阵，求B.

2.已知向量组与向量组,

具有相同的秩，且可由线性表示，求a,b的值.

3.设向量组.问：当a,b，c满足什么条件时，

（1）可由线性表示，且表示唯一？

（2）不能由线性表示？

（3）可由线性表示，但表示式不唯一？并求出一般表达式.

4．设，其中是转置矩阵，求解方程.

5．某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量.

（1）求与的关系式并写成矩阵形式；

（2）验征是A的两个线性无关的向量，并求相应的特征值；

（3）当时，求.

６．设矩阵，已知A有３个线性无关的特征向量，是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得为对角形矩阵.

７．设有n元实二次型

其中为实数.问当满足何种条件时，二次型为正定二次型？

.

2000年考研线性代数试题答案和提示

一、1．。2．。3．-1。5．24。

6．24。

二、1．D。2.A。3．C。

三、1.。提示：,

,

2.a=15,b=5。提示：线性无关，知，

又可由线性表示，故。

3.时，可由线性表示，且表示唯一。

时，不能由线性表示。

可由线性表示，但表示不唯一。

这时。

4．。提示：，

化简为。

5．（1），提示。

（2），知线性无关。

得对应的特征值为，得对应的特征值为。

（3）。提示：，

，得。

６．。

提示：为A的二重特征值，故。求出x,y值，x=2,y=-2.

７．当时，二次型为正定二次型。

提示：，等号在时成立。而此方程组只有零解的充分必要条件为系数行列式不为零，即