对于反常积分敛散性的判别，我们需要掌握两个重要结论，并能熟练地进行无穷小、无穷大比阶。1
注意到：
∫1xpd x =1(p−1)xp − 1 =1p−1⋅e(1−p)lnx\int \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x = \frac{1}{(p-1)x^{p-1}} = \frac{1}{p-1} \cdot e^{(1-p)\ln x}∫xp1dx=(p−1)xp−11=p−11⋅e(1−p)lnx
有：
（1）无穷区间的反常积分∫ 1 ∞( 1 /x p) d x \int_1^\infty (1/{x^p}) \mathrm{d}x∫1∞(1/xp)dx：在 p > 1 p \gt 1p>1 时收敛，在 p ⩽ 1 p \leqslant 1p⩽1 时发散。
ln x 在( 1 , ∞ )\ln x 在 \left(1, \infty \right)lnx在(1,∞) 上恒正，(1−p)<0 \left( 1 - p \right) \lt 0 (1−p)0 \left( 1 - p \right) \gt 0 (1−p)>0 时，lim x → ∞ e( 1 − p ) ln x =∞ \lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = \infty limx→∞e(1−p)lnx=∞， 故发散。（2）无界函数的反常积分∫ 0 1( 1 /x p) d x \int_0^1 (1/{x^p}) \mathrm{d}x∫01(1/xp)dx：在 p < 1 p \lt 1p0 \left( 1 - p \right) \gt 0 (1−p)>0 时，lim x → 0 e( 1 − p ) ln x =e− ∞ =0 \lim_{x \to 0} e^{(1-p)\ln x} = e^{-\infty} = 0 limx→0e(1−p)lnx=e−∞=0， 故收敛；p=1 p = 1 p=1 时，1p − 1\frac{1}{p-1} p−11 不存在，故发散；(1−p)<0 \left( 1 - p \right) \lt 0 (1−p)