在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的[1]。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。
定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数[2]。
定理的叙述设 f {\displaystyle f}为一个在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的周期性的局部可积函数，其周期为2π {\displaystyle 2\pi } 。给定x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } ，假设有以下条件成立：
函数 f {\displaystyle f}在x 0{\displaystyle x_{0}}处有左极限和右极限，分别记为 f( x 0+ ) {\displaystyle f(x_{0}^{+})}和 f( x 0− ) {\displaystyle f(x_{0}^{-})} 。存在正实数：α>0 {\displaystyle \alpha >0} ，使得以下的两个积分收敛： ∫ 0α |f ( x 0+ t ) − f ( x 0 +) | td t, ∫ 0α |f ( x 0− t ) − f ( x 0 −) | td t {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t}那么，函数 f {\displaystyle f}的傅里叶级数在 x 0{\displaystyle x_{0}}处收敛，并且有：
lim n ( S n f( x 0 ))= 12 (f( x 0+ )+f( x 0− )) {\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))}定理成立的一个特例是当函数 f {\displaystyle f}在 x 0{\displaystyle x_{0}}处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段C1{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 函数（见光滑函数）的时候。
证明定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。
D n (x)= ∑ k=−nne ikx =sin ( ( n +1 2 )x)sin ( x /2 ) , {\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}S n (f)(x)= 1 2 π∫ −ππ f(t) D n (x−t)dt= 1 2 π∫ −ππD n (t)f(x−t)dt {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt}这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：
S n (f)(x)= 1 2 π∫ −ππ sin (( n+ 12 )t)f ( x − t ) sin t 2dt {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 f ( x − t ) sin ( t /2 ){\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}}在0附近并不一定可积。但是由于：
f ~ (x)=f ( x +) + f ( x −)2{\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}}存在，可以考虑将区间[−π,0) {\displaystyle [-\pi ,0)} 上的积分用u=−t {\displaystyle u=-t} 换元，这样S n (f)(x) {\displaystyle S_{n}(f)(x)}就变成：
S n (f)(x)= ∫ 0π sin (( n+ 12 )t)f ( x + t ) + f ( x − t ) sin t 2dt {\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt}因此：
S n (f)(x)−f ~ (x)= 1 2 π∫ 0π sin (( n+ 12 )t)f ( x + t ) + f ( x − t ) sin t 2dt− 12( f( x + )+f( x − )) {\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)}而由于狄利克雷核在区间[−π,π] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 上的积分平均值是1，也就是说：
1= 1 2 π∫ −ππD n (t)dt= 1 2 π∫ −ππ sin ( ( n +1 2 )t)sin ( t /2 ) dt=2⋅ 1 2 π∫ 0π sin ( ( n +1 2 )t)sin ( t /2 ) dt {\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}12 = 1 2 π∫ 0π sin ( ( n +1 2 )t)sin ( t /2 ) dt {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt}因此：
S n (f)(x)−f ~ (x)= 1 2 π∫ 0π sin (( n+ 12 )t)f ( x + t ) + f ( x − t ) sin t 2dt − 1 2 π∫ 0π sin ( ( n +1 2 )t)sin t 2 ( f( x + )+f( x − ))dt = 1 2 π∫ 0π sin (( n+ 12 )t)f ( x + t ) + f ( x − t ) − f ( x +) − f ( x −) sin t 2dt {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}}由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：
lim n→∞S n (f)(x)=f ~ (x) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)} 参见傅里叶级数狄利克雷核费耶核注释与参考[1]狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169[2]若尔当, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230参考书籍（英文）Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715.p.46-52.（法文）Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.