作者：小海考研人

在考研数学线性代数中，秩为1的矩阵具有特殊意义，往年常考察其相关知识点。

其一是秩为 1 矩阵的特征值，特征值的计算是一个基本考点，其计算方法很多，包括：根据特征值的定义进行计算、由特征方程计算、利用特征值的各种性质进行计算，这些方法都是求特征值的基本方法，同学们需要熟练掌握，但这些方法只是针对一般矩阵的普遍方法，而对于一些特殊矩阵，有时采用一些特殊的方法或技巧则可以更灵活、更有效地解决问题。下文将对秩为1的特殊矩阵的特征值的计算方法做些分析，并提供典型例题供大家参考。

其二是秩为1矩阵是否能相似对角化，知道结论可以秒出结果。

其三是将秩为1矩阵拆为两列向量的乘积，在很多大题中常会用到。

若nnn 阶矩阵A=(aii) A=\left( a_{ii} \right)A=(aii​) 的秩为 1，则AAA 的特征值为λ 1=λ 2= ⋯λn−1= 0 \lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0λ1​=λ2​=⋯λn−1​=0 当∑i = 1n ai i≠0\sum_{i=1}^n{a_{ii}}\ne 0∑i=1n​aii​​=0 时，0为AAA 的n−1n-1n−1 重特征值；当∑i = 1n ai i=0\sum_{i=1}^n{a_{ii}}=0∑i=1n​aii​=0 时，0为AAA 的nnn 重特征值。这个结论可以用不同的方法证明（需要重点掌握）

证：法1（方程组法）

若R(A)=1R(A)=1R(A)=1 ,则Ax=0Ax=0Ax=0 的基础解系含n−1n-1n−1 个线性无关解向量，由于Ax=0=0⋅xAx=0=0 \cdot xAx=0=0⋅x，所以这n−1n-1n−1 个线性无关的解向量都是属于特征值0的特征向量，因此0至少是AAA 的n−1n-1n−1 重特征值。

设λ 1 =λ 2 =⋯λn − 1=0\lambda _1=\lambda _2=\cdots \lambda _{n-1}=0λ1​=λ2​=⋯λn−1​=0，则由特征值的性质λ 1 +λ 2 +⋯λn − 1+λ n =∑i = 1n ai i\lambda _1+\lambda _2+\cdots \lambda _{n-1}+\lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}}λ1​+λ2​+⋯λn−1​+λn​=∑i=1n​aii​ 得：λ n =∑i = 1n ai i\lambda _n=\sum_{i=1}^n{a_{ii}}λn​=∑i=1n​aii​ 。由此可知：

当∑i = 1n ai i≠0\sum_{i=1}^n{a_{ii}}\ne 0∑i=1n​aii​​=0 时，0为AAA 的n−1n-1n−1 重特征值；当∑i = 1n ai i=0\sum_{i=1}^n{a_{ii}}=0∑i=1n​aii​=0 时，0为AAA 的nnn 重特征值.

法2（特征方程法）

若R(A)=1R(A)=1R(A)=1 ，则AAA 的列向量组的秩为 1，不妨设AAA 的第一列为α= (a1 ,a2 , ⋯ ,an )T ≠0(a 1≠ 0 ) \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T} \neq 0 \quad\left(a_{1} \neq 0\right)α=(a1​,a2​,⋯,an​)T​=0(a1​​=0)，则其它列均可由α\alphaα 线性表示，于是AAA 可表示为：

A=(b 1α ,b 2α , ⋯  ,b nα ) =αβ T A=\left(b_{1} \alpha, b_{2} \alpha, \cdots, b_{n} \alpha\right)=\alpha \beta^{T}A=(b1​α,b2​α,⋯,bn​α)=αβT，其中b 1 =1,β= (b1 ,b2 , ⋯ ,bn )T b_{1}=1, \quad \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}b1​=1,β=(b1​,b2​,⋯,bn​)T

∣ λ E − A ∣ =∣λ−a1b1−a1b2 ⋯−a1bn−a2b1λ−a2b2 ⋯−a2bn ⋮ ⋮⋮−anb1−anb2 ⋯λ−anbn ∣|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ -a_{2} b_{1} & \lambda-a_{2} b_{2} & \cdots & -a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} b_{1} & -a_{n} b_{2} & \cdots & \lambda-a_{n} b_{n}\end{array}\right|∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​λ−a1​b1​−a2​b1​⋮−an​b1​​−a1​b2​λ−a2​b2​⋮−an​b2​​⋯⋯⋯​−a1​bn​−a2​bn​⋮λ−an​bn​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

=∣λ−a1b1−a1b2 ⋯−a1bn−a 2 a 1 λ λ ⋯ 0 ⋮ ⋮⋮−a n a 1 λ 0 ⋯ λ ∣=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ -\frac{a_{2}}{a_{1}} \lambda & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -\frac{a_{n}}{a_{1}} \lambda & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right|=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​λ−a1​b1​−a1​a2​​λ⋮−a1​an​​λ​−a1​b2​λ⋮0​⋯⋯⋯​−a1​bn​0⋮λ​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= λ−∑i = 1 naibi−a1b2 ⋯−a1bn 0 λ ⋯ 0 ⋮ ⋮⋮ 0 0 ⋯ λ=\begin{array}{|cccc|} \lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} & -a_{1} b_{2} & \cdots & -a_{1} b_{n} \\ 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}=λ−∑i=1n​ai​bi​0⋮0​−a1​b2​λ⋮0​⋯⋯⋯​−a1​bn​0⋮λ​

=λn−1 ( λ −∑i=1naibi )=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\right)=λn−1(λ−i=1∑n​ai​bi​)

故：λ 1 =λ 2 =⋯=λn − 1=0,λ n =∑i = 1n a i b i \lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}λ1​=λ2​=⋯=λn−1​=0,λn​=∑i=1n​ai​bi​

由于A=(a i b j) =(aii) ,A=\left(a_{i} b_{j}\right)=\left(a_{i i}\right),A=(ai​bj​)=(aii​), 所以ai i=a i b i ,a_{i i}=a_{i} b_{i},aii​=ai​bi​, 故λ n =∑i = 1n a i b i =∑i = 1n ai i\lambda_{n}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}λn​=∑i=1n​ai​bi​=∑i=1n​aii​

由此可知,,, 当∑i = 1n ai i≠0\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \neq 0∑i=1n​aii​​=0时, 0 为AAA 的n−1n-1n−1 重特征值;;; 当∑i = 1n ai i=0\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=0∑i=1n​aii​=0 时,0, 0,0 为AAA 的nnn 重特征值。

若An × n,A_{n \times n},An×n​, 且r(A)=1r(A)=1r(A)=1