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2004年考研数学一真题及答案详解

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2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ .

(2)已知,,=__________ .

(3)为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.

(4)欧拉方程的通解为__________ .

(5)设矩阵,矩阵满足,其中的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .

(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A)                       (B)

(C)                       (D)

(8)设函数连续,且则存在,使得

(A)在(0,内单调增加                (B)内单调减少

(C)对任意的          (D)对任意的 

(9)为正项级数,下列结论中正确的是

(A)=0,则级数收敛

(B)若存在非零常数,使得,则级数发散

(C)若级数收敛,则  

(D)若级数发散, 则存在非零常数,使得

(10)为连续函数,,等于

(A)                     (B)

(C)                        (D) 0

(11)是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵

(A)                   (B) 

(C)                     (D)

(12)为满足的任意两个非零矩阵,则必有

(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关

(B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 

(C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关

(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关

(13)设随机变量服从正态分布对给定的,满足,,等于

(A)                          (B)

(C)                        (D)  

(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,

(A)                    (B) 

(C)              (D)

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15)(本题满分12分)

,证明.

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分其中是曲面的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.

(19)(本题满分12分)

是由确定的函数,求的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分)

为随机事件,且,

    

求:(1)二维随机变量的概率分布.      (2)的相关系数

(23)(本题满分9分)

设总体的分布函数为

其中未知参数为来自总体的简单随机样本,

求:(1)的矩估计量.  (2)的最大似然估计量.

 

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

(1曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为   .

分析】  本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。

详解】 由,得x=1, 可见切点为,于是所求的切线方程为

          , 即 .

评注】 本题也可先设切点为,曲线y=lnx过此切点的导数为,得,由此可知所求切线方程为, 即 .

本题比较简单,类似例题在一般教科书上均可找到.

(2已知,且f(1)=0, 则f(x)=   .

分析】 先求出的表达式,再积分即可。

详解】 令,则,于是有

         , 即  

 积分得  . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= .

评注】 本题属基础题型,已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.

 

(3设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为  .

分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。

详解】  正向圆周在第一象限中的部分,可表示为

         

于是 

                   =

评注】  本题也可添加直线段,使之成为封闭曲线,然后用格林公式计算,而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11,《考研数学大串讲》P122例5、例7 .

 

(4欧拉方程的通解为 .

分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。

详解】  令,则 ,

          ,

代入原方程,整理得

解此方程,得通解为   

评注】 本题属基础题型,也可直接套用公式,令,则欧拉方程

          ,

可化为       

     完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.,《考研数学大串讲》P75例12.

 

(5设矩阵,矩阵B满足,其中为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则   .

分析】 可先用公式进行化简

详解】  已知等式两边同时右乘A,得

,  而,于是有

,  即   ,

再两边取行列式,有   ,

      而 ,故所求行列式为

评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点,而题设含有伴随矩阵,一般均应先利用公式进行化简。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2,P118例9

    (6设随机变量X服从参数为的指数分布,则=   .

分析】 已知连续型随机变量X的分布,求其满足一定条件的概率,转化为定积分计算即可。

详解】  由题设,知,于是

      =

          =

评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征,而不应在考试时再去推算。

完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.

 

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A) .   (B)  .  (C) .   (D)  .           [  B

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