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常用极限,导数,级数 秒杀必背积分表实数部分 秒杀必背积分表三角部分
#常用极限limx→0sinx x= 1 limn→∞( 1 +1 n ) n= e ; limx→∞( 1 +1 x ) x= e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\\\ \\ \lim_{n\to \infty}(1+\frac 1 n)^n=e\space;\space\lim_{x\to \infty}(1+\frac 1 x)^x=ex→0limxsinx=1 n→∞lim(1+n1)n=e ; x→∞lim(1+x1)x=e
当 x → 0 : sin x → x ; tan x → x ; arctan x → x ; arcsin x → x ; 1 − cos x → x2 2 ; 1+x n→1 nx ; e x− 1 → x ; ln ( x + 1 ) → x ; ( 1 + x) α→ α x ; ln ( x + 1+x2) → x log a( 1 + x ) →xlna ; a x− 1 → x ln a x − sin x →1 6 x 3 ; tan x − x →1 3 x 3 arcsin x − x →1 6 x 3 ; x − arctan x →1 3 x 3 tan x − sin x →1 2 x 3 1 − 1−x2→1 2 x 2 1+xa− 1 →1 2 x a当x\to 0:\\\ \\ \sin x\to x\space\space;\space\space\tan x\to x\space\space;\\\ \\\arctan x\to x\space\space;\space\space\arcsin x\to x\space\space;\\\ \\ 1-\cos x\to \frac{x^2}2\space\space;\space\space\sqrt[n]{1+x}\to \frac 1 n x\space\space;\\\ \\ e^x-1\to x\space\space;\space\space\ln(x+1)\to x\space\space;\\\ \\ (1+x)^\alpha\to \alpha x\space\space;\space\space\ln (x+\sqrt{1+x^2})\to x\\\ \\ \log_a(1+x)\to\frac x{\ln a}\space\space;\space\space a^x-1\to x\ln a\\\ \\ x-\sin x\to\frac 1 6x^3 \space\space;\space\space \tan x-x\to \frac 1 3 x^3\\\ \\ \arcsin x -x\to \frac 1 6 x^3 \space\space;\space\space x-\arctan x\to\frac 1 3 x^3\\\ \\ \tan x-\sin x\to \frac 1 2 x^3\\\ \\1-\sqrt{1-x^2}\to\frac 1 2 x^2\\\ \\\sqrt{1+x^a}-1\to\frac 1 2 x^a当x→0: sinx→x ; tanx→x ; arctanx→x ; arcsinx→x ; 1−cosx→2x2 ; n1+x →n1x ; ex−1→x ; ln(x+1)→x ; (1+x)α→αx ; ln(x+1+x2 )→x loga(1+x)→lnax ; ax−1→xlna x−sinx→61x3 ; tanx−x→31x3 arcsinx−x→61x3 ; x−arctanx→31x3 tanx−sinx→21x3 1−1−x2 →21x2 1+xa −1→21xa
limx→0sin1x1x= 0 \lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac 1 x}{\frac 1 x}=0x→0limx1sinx1=0
#常用级数11−z=∑n=0 ∞ z n= 1 + z +z 2⋯ +z n+ ⋯ 11+z=∑n=0 ∞( − 1) n z n= 1 − z +z 2⋯ + ( − 1) n z n+ ⋯ ln ( 1 + x ) = x − x2 2+ x3 3− ⋯ + ( − 1) nxn+1n+1+ ⋯ e x= 1 + x + x2 2+ ⋯ + xnn!+ ⋯ sin x = x − x33!+ x55!− ⋯ + ( − 1)n+1x2n−1(2n−1)!+ ⋯ cos x = 1 − x22!+ x44!− ⋯ + ( − 1)n+1x2n−2(2n−2)!+ ⋯ ( 1 + x) α= 1 + α x + α(α−1) 2 x 2+ ⋯ 1+x2= 1 +1 2 x 2−1 8 x 4+ o (x 4) \frac 1 {1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n=1+z+z^2\cdots+z^n+\cdots\\\ \\ \frac 1 {1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n=1-z+z^2\cdots+(-1)^nz^n+\cdots\\\ \\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} +\cdots\\\ \\ e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\\\ \\ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots\\\ \\ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots\\\ \\ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\cdots\\\ \\ \sqrt{1+x^2}=1+\frac 1 2x^2-\frac 1 8x^4+o(x^4)1−z1=n=0∑∞zn=1+z+z2⋯+zn+⋯ 1+z1=n=0∑∞(−1)nzn=1−z+z2⋯+(−1)nzn+⋯ ln(1+x)=x−2x2+3x3−⋯+(−1)nn+1xn+1+⋯ ex=1+x+2x2+⋯+n!xn+⋯ sinx=x−3!x3+5!x5−⋯+(−1)n+1(2n−1)!x2n−1+⋯ cosx=1−2!x2+4!x4−⋯+(−1)n+1(2n−2)!x2n−2+⋯ (1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+⋯ 1+x2 =1+21x2−81x4+o(x4)
( arcsin x) ′=11−x 2 ( arccos x) ′= −11−x 2 ( arctan x) ′=11+x2 ( a r c c o t x) ′= −11+x2 ( tan x) ′=1cos 2x= sec 2x ( cot x) ′= −1sin 2x= − csc 2x ( sec x) ′= sec x tan x = tanxcosx ( csc x) ′= − csc x cot x = −1sinxtanx ( cos x)(n)= cos ( x + nπ 2) ( sin x)(n)= sin ( x + nπ 2) (x n )(n)= n !(x n )(n+1)= 0 (1x+a )(n)= (−1)nn!(x+a)n + 1 ( ln ( x + b ))(n)= (−1)n − 1 (n−1)!(x+b)n (\arcsin x)'=\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arccos x )' =-\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}\\\ \\ (\arctan x )'=\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (arccot x)' =-\frac 1 {1+x^2}\\\ \\ (\tan x)'=\frac 1 {\cos^2x}=\sec^2x\\\ \\ (\cot x)' =-\frac 1 {\sin^2 x}=-\csc^2 x\\\ \\ (\sec x)'=\sec x\tan x=\frac{\tan x}{\cos x}\\\ \\ (\csc x)'=-\csc x \cot x=-\frac 1{\sin x \tan x}\\\ \\ (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac {n\pi}2)\\\ \\ (x^n)^{(n)}=n! \\ (x^n)^{(n+1)}=0 \\\ \\ (\frac 1 {x+a})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}\\\ \\ (\ln(x+b))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+b)^{n}}\\\ \\(arcsinx)′=1−x21 (arccosx)′=−1−x21 (arctanx)′=1+x21 (arccotx)′=−1+x21 (tanx)′=cos2x1=sec2x (cotx)′=−sin2x1=−csc2x (secx)′=secxtanx=cosxtanx (cscx)′=−cscxcotx=−sinxtanx1 (cosx)(n)=cos(x+2nπ) (sinx)(n)=sin(x+2nπ) (xn)(n)=n!(xn)(n+1)=0 (x+a1)(n)=(x+a)n+1(−1)nn! (ln(x+b))(n)=(x+b)n(−1)n−1(n−1)!
[ f ( x ) ⋅ g ( x )](n)=f(n)g +C n 1 f(n−1)g + ⋯ +C n k f(n−k) g(k)+ ⋯ + fg(n)[f(x)\cdot g(x)]^{(n)}=f^{(n)}g+C_n^1f^{(n-1)}g+\cdots+C_n^kf^{(n-k)}g^{(k)}+\cdots+fg^{(n)}[f(x)⋅g(x)](n)=f(n)g+Cn1f(n−1)g+⋯+Cnkf(n−k)g(k)+⋯+fg(n)
对 于 函 数 , 其 输 入 的 变 量 之 间 必 须 相 互 独 立 对于函数,其输入的变量之间必须相互独立对于函数,其输入的变量之间必须相互独立
因 此 , 对 于 以 坐 标 为 输 入 变 量 的 多 元 函 数 , 如( ρ , ϕ , z ) , ( r , θ , ϕ )其 任 意 两 个 微 商 ∂ρ∂ϕ= 0 , 因此,对于以坐标为输入变量的多元函数,如\\ (\rho,\phi,z),(r,\theta,\phi)\\ 其任意两个微商\frac{\partial\rho}{\partial\phi}=0,因此,对于以坐标为输入变量的多元函数,如(ρ,ϕ,z),(r,θ,ϕ)其任意两个微商∂ϕ∂ρ=0,
全微分: