考研数学线上笔记（二）：凯哥不定积分计算系列课程

2024-09-08 23:52:360 次浏览 投稿

目录1 有理函数的积分（多项式除以多项式）引入五步曲(Bx+C)/(x 2 +px+q)(Bx+C)/(x^2+px+q)(Bx+C)/(x2+px+q)型计算x 2 /(a 2 +x 2 ) 2 x^2/(a^2+x^2)^2x2/(a2+x2)2型计算1/(a 2 +x 2 ) 2 1/(a^2+x^2)^21/(a2+x2)2型计算(Bx+C)/(x 2 +px+q) 2 (Bx+C)/(x^2+px+q)^2(Bx+C)/(x2+px+q)2型计算(Bx+C)/(x+m)(x+n) 2 (Bx+C)/(x+m)(x+n)^2(Bx+C)/(x+m)(x+n)2(Bx+C)/(x+n) 2 (x 2 +px+q)(Bx+C)/(x+n)^2(x^2+px+q)(Bx+C)/(x+n)2(x2+px+q)型计算---五部曲完整展示常规解法例题有理函数的一些特殊解法其他形式转换为有理函数积分可以看成 f (e x) f(e^x)f(ex)的被积函数换元法打开局面 分子为1时，可以考虑上下同乘，再把分子凑进去√x√x√x 常可以凑进dx中2 三角有理函数的积分通用方法——万能公式换元法使用“缩分母”技巧cosx凑成dsinx，把sinx看做整体t，化为关于t的有理函数积分−sinx-sinx−sinx凑成dcosxdcosxdcosx，把cosxcosxcosx看做整体t，化为关于t的有理函数积分分子分母同时除以cos x cos^xcosx，出现sec 2 xsec^2xsec2x，凑成dtanxdtanxdtanx形如(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)，假设“分子=p×分母+q×分母的导数”利用对应系数求出p、q出现不同角度，要先想办法统一角度（一般用二倍角公式）sinax×cosbxsinax×cosbxsinax×cosbx利用积化和差公式高次反复降次改造分子3 换元法和分部积分换元法（最后记得换回去）根式整体换元三角换元 分部积分换元法+分部积分分部积分降阶分部积分实现积分抵消对复杂因式求导4 变限积分概念题存在定理变上限积分函数天生连续，不可能有间断点综合计算有1+x^2^的令x=tant，t=arctanx；三角函数和指数函数相乘的积分，需要连续两次分部积分需要分部积分时，换元后可以不直接导出来含e^x^考虑前后抵消，把另一部分凑进dx

1 有理函数的积分（多项式除以多项式）

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