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主  编 杨劲根副主编 楼红卫 李振钱 郝群

编写人员（按汉语拼音为序）陈超群 陈猛 东瑜昕 高威 郝群 刘东弟 吕志 童裕孙 王巨平 王泽军 徐晓津 杨劲根 应坚刚 张锦豪 张永前 周子翔 朱胜林

1. 序言2. 非数学专业的数学教材3.数学分析和泛函分析4.单复变函数5.多复变函数6.代数7.数论8.代数几何9.拓扑与微分几何10.偏微分方程11.概率论12.计算数学13.其他14.附录

序言

1.1 数学与数学教材数学是科学的一个重要工具，这已经是老生常谈的一个常识了。从中小学、大学直到研究生，数学课程始终占据显著的位置。数学学科是庞大的，包含的分支很多，而且随着时间的推移，人类对数学的认识越来越深刻，数学的内容也越来越丰富，新的数学分支也时常产生。然而，尽管数学学科在不断的发展，它的基本原理是相对稳定的。如果把现在的大学数学和 50年前的大学数学作比较，就会发现基础性的内容是差不多的，那时的很多优秀数学书籍现在仍然奉为经典。这是数学和一些新兴学科的一个显著区别。数学大致分作两类：基础数学和应用数学。基础数学也叫做纯数学或理论数学，它是根据数学本身的需要而发展的。应用数学是在纯数学的基础上产生的各种具有不同程度的应用性的各种学科，这是数学和其他学科如物理、化学、计算机科学、经济学等的桥梁。大学数学课程按学生的专业可以分成两大类：数学专业的和非数学专业的。按程度又分本科生课程和研究生课程两大类。数学专业本科生有低年级的基础课程和高年级的专业课程选修课程。低年级的基础课程主要包括数学分析、线性代数、复分析、微分方程、抽象代数、复变函数、实变函数、泛函分析等。非数学专业的本科生数学基础课程通常称‘高等数学’，内容以微积分、线性代数和微分方程为主，只是比数学专业学生学习的内容要浅些。非数学专业的学生在数学课程中接受的训练主要是计算和应用的能力，而数学专业的学生主要接受数学推理的能力训练。学习数学的最主要的途径是看书。数学书籍大凡可以分教科书、学术专著和通俗读物三种。差不多所有数学分支都有一些不同深度的教科书。

1.2 如何选择合适的教材对于在读的大学生或研究生，不需要化太多心思选择教材，只要用老师指定的教材就可以了。特别是如果在所修的课程中你感觉学到比较扎实，习题基本会做，那也不一定去看太多其他同类的教材。对于学生来说，参考书是双刃剑，一方面它可以开拓视野，加深对所学知识认识的深度，另一方面，由于不同的作者写书的构思不同，内容安排的次序也可能不同，甚至所用的术语也有区别，同时看几本同类的书会造成混乱。所以建议在下面两种情形下去寻找合适的参考书：1）觉得课堂上用的教材太难，大部分习题不会做，这时可找一本浅一点的或者对基本概念解释得更仔细一点的书。2）能轻松对付课堂内容，又对该课程有浓厚兴趣，这时可请老师推荐更深一些的教材。前面我们提到过数学教材分数学专业和非数学专业教材两大类。它们的差异是巨大的，例如同样书名是 Linear Algebra的教材，工科的学生觉得数学系的教材的叙述太简洁，例子太少，图形少，计算题少，证明太多，习题太难。而数学系的学生觉得工科线性代数教材不严格，解释性的话太多，应用性的例子太简单。所以非数学专业的读者选择数学专业的数学教材要格外慎重，首先要判断其内容和深度是否是你确实需要或你感兴趣的，然后再估量一下你的数学基础够不够，千万不可勉强。对于自学数学的同志，选择合适的教材是十分关键的，千万不要随便抓起一本书就念。选错书是会走很多弯路的。对于初学者，光看书名、目录和序言是很难准确地判断这本书是不是适合于你，需要仔细看看里面的内容。可以到书店去浏览，有些书店有很多品种的数学书，但是有很多最好的书籍在书架上是没有的，因此图书馆是一个更好的选择。也可以在互联网上搜索，当然身边有高手指点就再好不过了。

1.3 外国数学教材中国国内有不少好的数学教材，为什么还需要外国的教材呢？从中学数学教材到大学低年级的教材来看，光用国内的教材已经够了，但是越到高的层次，对国外教材的倚靠就越明显了。不仅要使用翻译的教材，还要使用原版的。从语种来看，英语最为重要。世界上的数学大国是美国、俄罗斯、德国、法国、英国，这五个国家堪称数学超级大国。意大利、日本、印度和东欧诸国的数学也很强。中国虽然出些数学人才，但是和数学五大强国比差距仍不小，我们得摆正位置，老老实实学习人家先进的东西。日本和印度的数学家历来用英文写作。前苏联的数学教科书在 60年代对我国起很大影响，当时会俄文对学数学很有利。几十年前，非英语国家的数学教科书都用本国文字写。在当今的信息时代，英语几乎成了世界语，在数学中也不例外，连法国德国的数学家也经常用英文写作，在加上美国的数学界化了相当大的人力物力翻译数学名著。对于数学工作者来说，只懂英语一种外语也够了。国外有几家著名的出版商如德国的 Springer Verlag, 美国的 Academic Press, 美国数学会(AMS) 和一些名校如英国的牛津、剑桥，美国的 Princeton大学的出版社都是数学教材大户。非数学专业用的数学书的出版商不象基础数学那样集中，多数由一些综合性的出版社如 John Wiley, Prentice Hall, McGraw-Hill 等出版。数学类书籍的领头羊当数 Springer Verlag，它有很多系列丛书，主要给数学专业使用，最有名的几种是1）GTM, 即 Graduate Texts in Mathematics, 至今以出版了 200 多种，覆盖面很广，但多数是基础数学方面研究生教材。2） UTM, 即 Undergraduate Texts in Mathematics, 该系列比上面系列出现得晚一些，也没有列序号，因此品种也略少一些，似乎只有几十中，大部分是本科生数学教材。3） Universitext, 这是 Springer Verlag 另一套无序列号的数学丛书，以数学系高年级的教材为主，里面不乏好书。4） LNM, 即 Lecture Notes in Mathematics, 这是规模最大的丛书，以专著和研究生课程的讲义为主，现已有几千种。Springer 还有几个系列非常专门，这里就不介绍了。 Springer 的数学书差不多都是醒目的黄色封皮，印刷和装订都很考究。书的数学质量也很高，很受读者欢迎。但是大部分书都适合于有较好数学训练的人阅读，建议我国数学系研究生和高年级本科生使用。供大学生阅读的数学课外读物历来比较少。美国数学会在几年前推出的简装的系列丛书 Student Mathematical Library 倒是针对大学生的。 大部分书不到 200 页，选材比较有趣，非常有特色。美国数学会仿效 Springer Verlag, 也出版一套黄封面的研究生数学丛书，里面不乏好书。此外，美国数学会有一个翻译书系列，以俄罗斯和日本的数学译著为主，多数是研究性的专著，但也有一些高质量的教材。另一套值得推荐的系列丛书是伦敦数学会的 Student texts, 对象以数学专业高年级大学生和研究生为主，每本的篇幅为 200 页上下，内容覆盖的范围很广，基础数学方面的