[考考研研类类试试卷卷]考考研研数数学学⼆⼆（（线线性性代代数数））历历年年真真题题试试卷卷汇汇编编

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[考研类试卷]考研数学⼆（线性代数）历年真题试卷汇编10

⼀、选择题

下列每题给出的四个选中，只有⼀个选符合题⽬要求。

1(10)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于

2(13)矩阵相似的充分必要条件为

（A）a=0，b=2．

（B）a=0，b为任意常数．

（C）a=2，b=0．

（D）a=2，b为任意常数．

3(16)设A，B是可逆矩阵．且A与B相似，则下列结论错误的是

（A）AT与BT相似．

（B）A-1与B-1相似．

（C）A+AT与B+BT相似．

（D）A+A-1与B+B-1相似．

4(17)已知矩阵A=，则（A）A与C相似，B与C相似．

（B）A与C相似，B与C不相似．

（C）A与C不相似，B与C相似，

（D）A与C不相似，B与C不相似．

5(18)下列矩阵中，与矩阵相似的为

6(07)设矩阵A=，则A与B（A）合同，且相似．

（B）合同，但不相似．

（C）不合同，但相似．

（D）既不合同，也不相似．

7(08)设A=则在实数域上与A合同的矩阵为

8(15)设⼆次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中

P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，-e3，e2)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为

（A）2y12-y22+y32．

（B）2y12+y22-y32．

（C）2y12-y22-y32．

（D）2y12+y22+y32．

(16)设⼆次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为l，2，则

（A）a＞1

（B）a＜-2

（C）-2＜a＜1

（D）a=1或a=-2

⼆、填空题

10(08)设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ，若⾏列式｜2A｜=-48，则λ=_______．

11(0)设α，β为3维列向量，βT为β的转置．若矩阵αβT相似于，则

βTα=_______．

12(15)设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵．则⾏列式｜B｜=_______．

13(17)A=的⼀个特征向量为，则a=______．

14(18)设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为线性⽆关的向量组．若Aα1=2α1+α2+α3，

Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，则A的实特征值为_______．

15(11)⼆次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为_________.

16(14)设⼆次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是______．

三、解答题

解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。

17(08)设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满⾜Aα3=α2+α3．(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性⽆

关；(Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-

1AP．

18(10)设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对⾓矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

1(11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量．(Ⅱ)求矩阵A．

20(14)证明n阶矩阵相似．

21(15)设矩阵A=相似于矩阵B=(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对⾓矩阵．

22(16)已知矩阵A=(Ⅰ)求A；(Ⅱ)设3阶矩阵B=(a1，a2，a3)满⾜

B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表⽰为α1，α2，α3的线性组合．

23(0)设⼆次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3．(Ⅰ)求⼆次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若⼆次型f的规范形为

y12+y22，求a的值．

24(12)已经知A=，⼆次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2．(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求正交变换x=QY将f化为标准形．

25(13)设⼆次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

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